Chứng minh rằng bất đẳng thức (1 + 1/2 + 1/3 +...+ 1/n) nhỏ hơn bằng (n+1)/2

Trang trước Trang sau

Bài 4 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng bất đẳng thức $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} \leq \frac{n + 1}{2}$ đúng với mọi n∈ ℕ*

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có $\frac{1}{1} = 1 = \frac{1 + 1}{2} .$ Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} \leq \frac{k + 1}{2} .$

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} \leq \frac{(k + 1) + 1}{2} .$

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

$1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{k} + \frac{1}{k + 1} \leq$ $\frac{k + 1}{2} + \frac{1}{k + 1} = \frac{{(k + 1)}^{2} + 2}{2 (k + 1)} = \frac{k^{2} + 2 k + 3}{2 (k + 1)}$

$\leq \frac{k^{2} + 2 k + 1 + 2}{2 (k + 1)} \leq \frac{k^{2} + 2 k + k + 2}{2 (k + 1)} = \frac{k^{2} + 3 k + 2}{2 (k + 1)} = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2 (k + 1)} = \frac{k + 2}{2} = \frac{(k + 1) + 1}{2} .$

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học