Chứng minh rằng 8^n lớn hơn bằng n^3 với mọi n thuộc N sao

Bài 3 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng 8ⁿ ≥ n³ với mọi n∈ ℕ*

Lời giải:

Bước 1. Với n = 1, ta có 8¹ = 8 > 1 = 1³. Do đó bất đẳng thức đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử bất đẳng thức đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 8^k ≥ k³.

Ta cần chứng minh bất đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

8^{k + 1} ≥ (k + 1)³.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

8^{k + 1} = 8 . 8^k ≥ 8 . k³ = k³ + 3k³ + 3k³ + k³ ≥ k³ + 3k² + 3k + 1 (vì k ≥ 1) = (k + 1)³.

Vậy bất đẳng thức đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, bất đẳng thức đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học