Chứng minh rằng với mọi n thuộc N sao 3^n - 1 - 2n chia hết cho 4

Trang trước Trang sau

Bài 2 trang 40 Chuyên đề Toán 10: Chứng minh rằng với mọi n∈ ℕ*:

a) 3ⁿ – 1 – 2n chia hết cho 4

b) 7ⁿ – 4ⁿ – 3ⁿ chia hết cho 12.

Lời giải:

a) Bước 1. Với n = 1, ta có 3¹ – 1 – 2 . 1 = 0 ⁝ 4. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 3^k – 1 – 2k ⁝ 4.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

3^{k + 1} – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

3^{k + 1} – 1 – 2(k + 1) = 3 . 3^k – 1 –2k – 2 = 3 . 3^k – 3 –2k = 3 . 3^k – 3 –6k + 4k

= 3(3^k – 1 – 2k) + 4k

Vì (3^k – 1 – 2k) và 4k đều chia hết cho 4 nên 3(3^k – 1 – 2k) + 4k ⁝ 4 hay 3^{k + 1} – 1 – 2(k + 1) ⁝ 4.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

b) Bước 1. Với n = 1, ta có 7¹ – 4¹ – 3¹ = 0 ⁝ 12. Do đó khẳng định đúng với n = 1.

Bước 2. Giả sử khẳng định đúng với n = k ≥ 1, nghĩa là có: 7^k – 4^k – 3^k ⁝ 12.

Ta cần chứng minh đẳng thức đúng với n = k + 1, nghĩa là cần chứng minh:

7^{k + 1} – 4^{k + 1} – 3^{k + 1} ⁝ 12.

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:

7^{k + 1} – 4^{k + 1} – 3^{k + 1} = 7 . 7^k – 4 . 4^k – 3 . 3^k = 7 . 7^k – 7 . 4^k – 7 . 3^k + 3 . 4^k + 4 . 3^k

= 7(7^k – 4^k – 3^k) + 3 . 4^k + 4 . 3^k = 7(7^k – 4^k – 3^k) + 12 . 4^{k – 1} + 12 . 3^{k – 1} (vì k ≥ 1).

Vì 7(7^k – 4^k – 3^k), 12 . 4^{k – 1} và 12 . 3^{k – 1} đều chia hết cho 12 nên 7(7^k – 4^k – 3^k) + 12 . 4^{k – 1} + 12 . 3^{k – 1} ⁝ 12 hay 7^{k + 1} – 4^{k + 1} – 3^{k + 1} ⁝ 12.

Vậy khẳng định đúng với n = k + 1.

Theo nguyên lí quy nạp toán học, khẳng định đúng với mọi số tự nhiên n ≥ 1.

Xem thêm lời giải bài tập Chuyên đề học tập Toán 10 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 10 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 10 sách mới các môn học