Bài toán thực tế về biểu thức có chứa căn thức bậc hai lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến biểu thức có chứa căn thức bậc hai lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến biểu thức có chứa căn thức bậc hai.

1. Cách giải bài tập

Để giải bài toán thực tế liên quan đến căn bậc hai và căn thức bậc hai, ta làm như sau:

Bước 1: Gọi đại lượng cần tìm là a, x, b,.....

Bước 2: Tìm điều kiện xác định của biểu thức chứa ẩn.

Bước 3: Giải phương trình, căn thức, biểu thức,.. vừa xây đựng được từ đề bài.

Bước 4: Kiểm tra điều kiện với giá trị vừa tìm được và kết luận.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Áp suất P (lb/in²) cần thiết để ep nước qua một số ống dài L (ft) và đường kính d (in) với tốc độ v (ft/s) được cho bởi công thức P = 0,00161. $\frac{v^{2}L}{d}$.

a) Hãy tính x theo P, L và d.

b) Cho P = 198,5; L = 11 560; d = 6. Hãy tính tốc độ v (làm tròn kết qảu đến hàng đơn vị của feed trên giây).

(1 in = 2,54 cm; 1 ft (feed) = 0,3048 m; 1 lb (pound) = 0,45359237 kg;

1 lb/in² = 6 894,75729 Pascal)

Hướng dẫn giài

a) Từ công thức P = 0,00161. $\frac{v^{2}L}{d}$, ta có:

v²L =$\frac{Pd}{0,00161}$

v² = $\frac{Pd}{0,00161L}$

v = $\sqrt{\frac{Pd}{0,00161L}}$ (ft/s).

b) Tốc độ khi P = 198,5; L = 11 560; d = 6 là:

v = $\sqrt{\frac{Pd}{0,00161L}}=\sqrt{\frac{198,5.6}{0,00161.11560}}\approx 8$ (ft/s)

Ví dụ 2. Trong thuyết tương đối, khối lượng m (kg) của một vật khi di chuyển với vận tốc v (m/s) được cho bởi công thức m = $\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$, trong đó m₀ (kg) là khối lượng của vật khi đứng yên, c (m/s) là vận tốc của ánh sáng trong chân không.

a) Viết lại công thức tính khối lượng m dưới dạng không có căn thức ở mẫu.

b) Tính khối lượng m theo m₀ (làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba) khi vật chuyển động với vận tốc v = $\frac{1}{10}$c.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: m = $\frac{m_0}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ = $\frac{m_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v^2}{c^2}}$.

b) Khi v = $\frac{1}{10}$c, ta có: $\frac{v}{c}=\frac{m_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{\frac{1}{10}c}{c}=\frac{1}{10}$.

Suy ra $\frac{v^2}{c^2}={\left(\frac{v}{c}\right)}^2={\left(\frac{1}{10}\right)}^2=\frac{1}{100}$.

Thay vào m = $\frac{m_0\sqrt{1-\frac{1}{100}}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{m_0.\sqrt{\frac{99}{100}}}{\frac{99}{100}}=\frac{10\sqrt{11}}{33}m\approx _{0}1,005m_0$.

Vậy m ≈ 1,005m₀ khi v = $\frac{1}{10}$c.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Khi bay vào không gian, trọng lượng P (N) của một phi hành gia ở vị trí cách mặt đất một độ cao h (m) được tính theo công thức P = $\frac{{28014.10}^{12}}{{\left({64.10}^5+h\right)}^2}$. Ở độ cao bao nhiêu mét thì trọng lượng của phi hành gia là 619 N? (làm tròn đến kết quả phần mười).

A.327 322,3 (m).

B.327 (m).

C.327,3(m).

D.3273,3 (m).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì trọng lượng của phi hành gia là 619 N nên ta có:

619 = $\frac{{28014.10}^{12}}{{\left({64.10}^5+h\right)}^2}$

(64.10⁵ + h)² = $\frac{{28014.10}^{12}}{619}$

64.10⁵ + h = $\sqrt{\frac{{28014.10}^{12}}{619}}$

h = $\sqrt{\frac{{28014.10}^{12}}{619}}$ − 64.10⁵ ≈ 327 322,3 (m).

Bài 2. Ngày 28/9/2018, sau trận động đất 7,5 độ Richter, cơn sóng thần cao hơn 6 m đã tràn vào đảo Sulawesi (Indonesia) và tàn phá thành phpps Palu gây thiệt hại vô vùng to lớn. Tốc dộ cơn sóng thần v (m/s) và chiều sâu đại dương d (m) của nơi bắt đầu sóng thần liên hệ bởi công thức v = $\sqrt{dg}$ trong đó g = 9,81 m/s².

Theo tính toán của các nhà khoa học địa chất, tốc độ cơn sóng thần ngày 28/9/2018 là 800 km/h. Hãy tính chiều sâu đại dương của nơi tâm chấn động đất gây ra sóng thần (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị của mét).

A. 503,4 m.

B.5,034 m.

C. 50,34 m.

D. 0,53 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Đổi 800 (km/h) = $\frac{2000}{9}$ (m/s).

Khi đó, ta có:

$\frac{2000}{9}=\sqrt{9,81d}$

Suy ra 9,81d = ${\left(\frac{2000}{9}\right)}^2$

Do đó, d = ${\left(\frac{2000}{9}\right)}^2$: 9,81 ≈ 5,034 m.

Bài 3. Biết rằng nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn được cho bởi công thức Q = I²Rt, trong đó Q là nhiệt lượng tính bằng đơn vị Joule (J), R là điện trở tính bằng $\Omega$, I là cường độ dòng điện được tính bằng Ampe, t là thời gian tính bằng giây (s). Dòng điện chạy qua một dây dẫn có R = 10 $\Omega$ trong thời gian 5 giây. Cường độ dòng điện là bao nhiêu ampe để nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn đạt 800 J?

A. −4 A.

B. 4 A.

C. 16 A.

D. 2,5 A.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Để nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn đạt 800 J thì Q = 800 J.

Suy ra 50I² = 800

Suy ra I² = 16

Do đó, I = $\sqrt{16}$ = 4 (A) (vì I > 0).

Vậy cường độ dòng điện là 4 Amphe thì nhiệt lượng tỏa ra trên dây dẫn đạt 800 J.

Bài 4. Biết rằng hình thang và hình chữ nhật có diện tích bằng nhau. Tính chiều cao h của hình thang.

A. $\sqrt{6}+\sqrt{3}$.

B. $6\sqrt{6}$

C. $12+6\sqrt{2}$.

D. $12-6\sqrt{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Diện tích hình chữ nhật là:

$\sqrt{12}.\sqrt{8}=\sqrt{12.8}=6\sqrt{6}$ (đvdt).

Vì hình thang và hình chữ nhật có diện tích bằng nhau nên diện tích hình thang là $6\sqrt{6}$ (đvdt).

Khi đó, diện tích hình thang là: $\frac{\sqrt{24}+\sqrt{12}}{2}.h=6\sqrt{6}$.

Ta có: $\frac{\sqrt{24}+\sqrt{12}}{2}=\frac{\sqrt{4.6}+\sqrt{4.3}}{2}$

$=\frac{2\sqrt{6}+2\sqrt{3}}{2}=\sqrt{6}+\sqrt{3}$.

Do đó, $\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)h=6\sqrt{6}$

Suy ra h = $\frac{6\sqrt{6}}{\sqrt{6}+\sqrt{3}}=\frac{6\sqrt{6}\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)}$

h$=\frac{6\sqrt{6}\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)}{3}=2\sqrt{6}\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)$

Vậy chiều cao của hình thang là h = $2\sqrt{6}\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)=12-6\sqrt{2}$.

Sử dụng dữ kiện dưới đây để trả lời Bài 5, 6.

Một khu đất hình tam giác vuông tiếp giáp hai thửa ruộng hình vuông có diện tích như hình vẽ bên dưới.

Bài 5. Cạnh của thửa ruộng hình vuông lớn là:

A. $40\sqrt{2}$ m.

B. $30\sqrt{2}$ m.

C. $50\sqrt{2}$ m.

D. $120\sqrt{2}$ m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Hình vuông lớn có diện tích là 3 200 m².

Khi đó, cạnh của thửa ruộng hình vuông lớn là: $\sqrt{3200}=\sqrt{2.1600}=40\sqrt{2}$ (m).

Bài 6. Độ dài cạnh huyền của tam giác hình vuông màu xanh là:

A. $40\sqrt{2}$ m.

B. $30\sqrt{2}$ m.

C. $50\sqrt{2}$ m.

D. $120\sqrt{2}$> m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Hình vuông bé có diện tích là 1 800 m².

Khi đó, cạnh của hình vuông bé là $\sqrt{1800}=\sqrt{2.900}=30\sqrt{2}$ (m).

Hình tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là hai cạnh của hình vuông trong hình vẽ trên.

Độ dài cạnh huyền của tam giác vuông là:

$\sqrt{{\left(30\sqrt{2}\right)}^2+{\left(40\sqrt{2}\right)}^2}=50\sqrt{2}$ (m).

Vậy chu vi của tam giác vuông là:

$30\sqrt{2}+40\sqrt{2}+50\sqrt{2}=120\sqrt{2}$ (m).

Bài 7. Một vườn hoa gồm ba hình vuông X, Y, Z lần lượt có diện tích như hình vẽ.

Chu vi của vườn hoa đó là:

A.$12\sqrt{2}$ m.

B.$8\sqrt{2}$ m.

C.$16\sqrt{2}$ m.

D.$36\sqrt{2}$ m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

• Cạnh của hình vuông X là $\sqrt{32}=\sqrt{16.2}=4\sqrt{2}$ (m).

Suy ra chu vi hình vuông X là: 4. $4\sqrt{2}$ = $16\sqrt{2}$ (m).

• Cạnh của hình vuông Y là: $\sqrt{18}=\sqrt{9.2}=3\sqrt{2}$ (m).

Suy ra chu vi của hình vuông Y là: 4.$3\sqrt{2}$ = $12\sqrt{2}$ (m).

• Cạnh của hình vuông Z là: $\sqrt{8}=\sqrt{4.2}=2\sqrt{2}$ (m).

Suy ra chu vi hình vuông Z là $4.2\sqrt{2}=8\sqrt{2}$ (m).

Do đó, chu vi của vườn hoa đó là:

$16\sqrt{2}+12\sqrt{2}+8\sqrt{2}=36\sqrt{2}$ (m).

Vậy chu vi của vườn hoa đó là $36\sqrt{2}$ m.

Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 8, 9, 10.

Cho hình vuông ABCD được chia thành hai hình vuông và hai hình chữ nhật như hình vẽ.

Bài 8. Độ dài đường chéo của hình vuông AMIN là

A.$\sqrt{2}$ cm.

B.$3\sqrt{2}$ cm.

C.$2\sqrt{2}$ cm.

D.$5\sqrt{2}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Vì AMIN là hình vuông nên AM = IN = 2 cm và $\widehat{ANI}$ = 90°.

Xét tam giác ANI vuông tại N, áp dụng định lý Pythagore, ta có:

AI² = AN² + IN²

Suy ra AI² = 8, do đó AI = $2\sqrt{2}$ (cm).

Bài 9. Độ dài đường chéo của hình vuông CEIF là

A.$\sqrt{2}$ cm.

B.$3\sqrt{2}$ cm.

C.$2\sqrt{2}$ cm.

D.$5\sqrt{2}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì CEIF là hình vuông nên IE = CF = 3 cm, $\widehat{AEC}$ = 90°.

Xét tam giác IEC vuông tại E, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

IC² = IE² + EC² = 3² + 3² = 18.

Suy ra IC = $3\sqrt{2}$ cm.

Bài 10. Độ dài đường chéo của hình vuông ABCD là:

A.$\sqrt{2}$ cm.

B.$3\sqrt{2}$ cm.

C.$2\sqrt{2}$ cm.

D.$5\sqrt{2}$ cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Độ dài đường chéo hình vuông là:

AC = AI + IC = $3\sqrt{2}$ + $2\sqrt{2}$ = $5\sqrt{2}$ (cm).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tìm căn bậc ba của một số
• So sánh hai căn bậc ba
• Tính giá trị biểu thức có chứa căn bậc ba tại giá trị cho trước của ẩn số
• Rút gọn biểu thức chứa căn bậc ba
• Tính các tỉ số lượng giác còn lại khi biết một trong bốn tỉ số lượng giác

---