Tính các tỉ số lượng giác còn lại khi biết một trong bốn tỉ số lượng giác lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính các tỉ số lượng giác còn lại khi biết một trong bốn tỉ số lượng giác lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính các tỉ số lượng giác còn lại khi biết một trong bốn tỉ số lượng giác.

1. Cách giải bài tập

Cho ∆ABC vuông tại A, với góc nhọn B có BC gọi là cạnh huyền, AC là cạnh đối và AB là cạnh kề.

Khi đó ta có 4 tỉ số lượng giác của góc nhọn B như sau:

- sin B = $\frac{AC}{BC}$ (tỉ số cạnh đối và cạnh huyền)

- cos B = $\frac{AB}{BC}$ (tỉ số cạnh kề và cạnh huyền)

- tan B = $\frac{AC}{AB}$ (tỉ số cạnh đối và cạnh kề)

- cot B = $\frac{AB}{AC}$ (tỉ số cạnh kề và cạnh đối).

* Chú ý: Giá trị sin và cos của một góc nhọn luôn nhỏ hơn 1 (vì trong tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất).

Ta có: sin²α + cos²α = 1.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính tỉ số các góc còn lại của góc α, biết:

a) sinα = $\frac{3}{5}$;

b) cosα = $\frac{12}{13}$;

c) tanα = $\frac{4}{3}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có sin²α + cos²α = 1.

Suy ra cos²α = $1-{\left(\frac{3}{5}\right)}^2=\frac{16}{25}$, do đó cosα = $\frac{4}{5}$ (cosα > 0).

Lại có, tanα = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{4}{3}$; cotα = $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{3}{4}$.

b) Ta có: cos²α + sin²α = 1.

Suy ra sin²α = 1 – ${\left(\frac{12}{13}\right)}^2$ = $\frac{25}{169}$, do đó sinα = $\frac{5}{13}$ (sinα > 0).

Lại có, tanα = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{5}{12}$; cotα = $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{12}{5}$.

c) Ta có: 1 + tan²α = $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ suy ra 1 + ${\left(\frac{4}{3}\right)}^2$= $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$, do đó cos²α = $\frac{9}{25}$.

Suy ra cosα = $\frac{3}{5}$ (cosα > 0).

Ta có: tanα.cotα = 1, do đó cotα = $\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{3}{4}$.

sinα = cosα.tanα = $\frac{3}{5}.\frac{4}{3}=\frac{4}{5}$.

Ví dụ 2. Tính tỉ số lượng giác của góc α trong tam giác ABC ở hình vẽ bên.

Hướng dẫn giải

Ta có: sinα = $\frac{AC}{BC}=\frac{9}{15}$.

cosα = $\frac{AB}{BC}=\frac{12}{15}$.

tanα = $\frac{AC}{AB}=\frac{9}{12}$.

cotα = $\frac{AB}{AC}=\frac{12}{9}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho ∆ABC vuông tại B như hình bên. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. sin A = $\frac{4}{3}$.

B. sin A = $\frac{4}{5}$.

C. sin A = $\frac{3}{5}$.

D. sin A = $\frac{3}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: sin A = $\frac{BC}{AC}=\frac{4}{5}$.

Bài 2. Cho ∆ABC vuông tại B như hình bên. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. cos A = $\frac{4}{\sqrt{17}}$.

B. cos A = $\frac{1}{4}$.

C. cos A = $\frac{1}{\sqrt{17}}$.

D. cos A = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: cos A = $\frac{AB}{AC}=\frac{4}{\sqrt{17}}$.

Bài 3. Cho ∆ABC vuông tại B như hình bên. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. sin A = $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

B. cos A = $\frac{\sqrt{10}}{2}$.

C. tan A = $\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{10}}$.

D. cot A = $\frac{2}{\sqrt{6}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: cot A = $\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{6}}$.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại B, có AB = 2, AC = 3. Giá trị của tan C là

A. $\frac{2}{3}$.

B. $\frac{3}{2}$.

C. $\frac{2}{\sqrt{5}}$.

D. $\frac{\sqrt{5}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng đinhỵ lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại B, ta có:

AB² + BC² = AC²

2² + BC² = 3²

BC² = 3² – 2²

BC = $\sqrt{5}$.

Do đó, tan C = $\frac{2}{\sqrt{5}}$.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm, AC = 12 cm. Giá trị của cos B là

A. $\frac{5}{12}$.

B. $\frac{12}{13}$.

C. $\frac{5}{13}$.

D. $\frac{12}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC² = BC²

5² + 12² = BC²

Suy ra BC = 13 cm.

Ta có: cos B = $\frac{AB}{BC}=\frac{5}{13}$.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A như hình vẽ bên. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây.

A. sin B = $\frac{12}{13}$.

B. cos B = $\frac{5}{13}$.

C. tan B = $\frac{13}{5}$.

D. cot B = $\frac{5}{12}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC² = BC²

5² + 12² = BC²

Suy ra BC = 13 cm.

Ta có: tan B = $\frac{AC}{AB}=\frac{12}{5}$.

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có BC = 2AB. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. sin C = $\frac{1}{2}$.

B. cos C = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

C. tan C = $\frac{2}{\sqrt{3}}$.

D. cot C = $\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đặt AB = m thì BC = 2m.

Áp dụng định lý Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC² = BC²

m² + AC² = 4m²

AC² = 3m².

Do đó, AC = m$\sqrt{3}$.

Ta có: sin C = $\frac{AB}{BC}=\frac{m}{2m}=\frac{1}{2}$.

cos C = $\frac{AC}{BC}=\frac{m\sqrt{3}}{2m}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

tan C = $\frac{AB}{AC}=\frac{m}{m\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

cot C = $\frac{AC}{AB}=\frac{m\sqrt{3}}{m}=\sqrt{3}$.

Bài 8. Cho tam giác ABC cân tại A, có BC = 6, đường cao AH = 4. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. sin B = $\frac{3}{4}$.

B. cos B = 0,6.

C. tan B = $\frac{3}{5}$.

D. cot B = 0,8.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có tam giác ABC cân tại A, có đường cao AH nên H là trung điểm của BC.

Suy ra BH = $\frac{BC}{2}=\frac{6}{2}=3$.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông ABH, ta có:

AH² + BH² = AB²

4² + 3² = AB²

AB² = 25 suy ra AB = 5.

Do đó, ta có: sin B = $\frac{AH}{AB}=\frac{4}{5}$

cos B = $\frac{BH}{AB}=\frac{3}{5}=0,6$;

tan B = $\frac{AH}{BH}=\frac{4}{3}$;

cot B = $\frac{BH}{AH}=\frac{3}{4}=0,75$.

Do đó, chọn đáp án A.

Bài 9. Cho hình vẽ bên. Tính tan C.

A. tan C = $\frac{1}{\sqrt{3}}$.

B. tan C = 3.

C. tan C = $3\sqrt{3}$.

D. tan C = $\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác AHB vuông tại H, ta có:

AB² + BH² = AB²

6² + 3² = AB²

Do đó, AB = $3\sqrt{3}$.

Ta có: tan C = cot B = $\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Vậy chọn đáp án A.

Bài 10. Cho hình vẽ bên.

Tính giá trị sin M + cos N được:

A. $\sqrt{3}$.

B. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

C. 2$\sqrt{3}$.

D. $3\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét ∆HMO và ∆HON, có:

$\widehat{HMO}=\widehat{HON}$ (cùng phụ với $\widehat{MOH}$)

$\widehat{MHO}=\widehat{OHN}=90°$

Do đó, ∆HMO$\backsim$∆HON (g.g)

Suy ra $\frac{OH}{NH}=\frac{MH}{OH}$ hay OH² = MH.NH.

Suy ra OH = $\sqrt{3}$; OM = $\sqrt{1+3}=2$.

Do đó, ta có: sin M = $\frac{OH}{OM}=\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Mặt khác cos N = sin M = $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Nên sin M + cos N = $\sqrt{3}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tính giá trị biểu thức lượng giác
• Tính tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
• Một số bài toán thực tế liên quan đến tỉ số lượng giác của góc nhọn
• Chứng minh đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác
• Giải tam giác vuông

---