Giải tam giác vuông lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Giải tam giác vuông lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Giải tam giác vuông.

1. Cách giải bài tập

• Định lí 1. Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh huyền nhân với sin của góc đối hoặc nhân với côsin góc kề.

Ta có:

b = a.sin B hoặc b = a.cos C.

c = a.sin C hoặc c = a.cos B.

• Định lí 2. Trong tam giác vuông, mỗi cạnh góc vuông bằng cạnh góc vuông kia nhân với tang của góc đối hoặc nhân côtang với góc kề.

Ta có:

b = c.tan B hoặc b = c.cot C.

c = b.tan C hoặc c = b.cot B.

• Giải tam giác vuông

Trong một tam giác vuông, nếu cho biết trước hai cạnh (hoặc một góc nhọn và một cạnh) thì ta sẽ tìm được tất cả các cạnh và các góc còn lại của tam giác vuông đó. Bài toán này gọi là bài toán giải tam giác vuông.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải tam giác ABC vuông tại A biết AC = 10 cm và $\hat{C}=30°$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\hat{B}=60°$ (do phụ với góc C).

Ta có: AB = AC.tanC = 10.tan30° = $\frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm.

BC = $\frac{AC}{\cos C}=\frac{10}{\cos 30°}=\frac{10\sqrt{3}}{3}$ cm.

Ví dụ 2. Giải tam giác ABC vuông tại A biết AB = 3 cm và $\hat{C}=30°$.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\hat{B}=90°-\hat{C}=90°-30°=60°$.

Ta có: AC = AB.tanB = 3.tan60° = $3\sqrt{3}$ (cm).

Áp dụng hệ thức về cạnh và góc trong tam giác vuông ta có:

sin C = $\frac{AB}{BC}$, suy ra $BC=\frac{AB}{\sin C}=\frac{3}{\sin 30°}=6$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giải tam giác ABC vuông tại A biết AB = 14 cm và $\hat{C}=30°$.

Hướng dẫn giải

Ta có ABC vuông tại A, suy ra $\hat{B}+\hat{C}=90°$.

Mà $\hat{C}=30°$ suy ra $\hat{B}=60°$.

Ta có: AC = AB.tan$\hat{B}$ = 14.tan60°, suy ra AC = $14\sqrt{3}$ cm.

cosB = $\frac{AB}{BC}$ suy ra $BC=\frac{AB}{\cos B}=\frac{AB}{0,5}=28$ (cm).

Vậy $\hat{B}=60°$; AC = $14\sqrt{3}$ cm; BC = 28 cm.

Bài 2. Giải tam giác ABC vuông tại B. Cho biết AC = 15 cm, $\hat{A}=52°$(kết quả làm tròn đến chữ số thập phân thứ nhất).

Hướng dẫn giải

Ta có: ABC vuông tại B.

Suy ra $\hat{A}+\hat{C}=90°$.

Mà $\hat{A}=52°$ suy ra $\hat{C}=38°$.

Ta có: AB = AC.sinC = 15.sin38° ≈ 9,2 cm.

BC = AC.sinA = 15.sin52° ≈ 11,8 cm.

Bài 3. Giải tam giác ABC vuông tại A biết AB = $7\sqrt{2}$ cm, AC = 11 cm (độ dài cạnh làm tròn đến chữ số thập phân thứ hai, góc làm tròn đến độ).

Hướng dẫn giải

Ta có: tanB = $\frac{AC}{AB}=\frac{11}{7\sqrt{2}}$ = 1,1145.

Suy ra $\hat{B}=48°$.

Lại có $\hat{B}+\hat{C}=90°$ suy ra $\hat{C}=42°$.

Áp dụng định lí Pytagore vào tam giác vuông ABC, ta có:

BC² = AB² + AC² = ($7\sqrt{2}$)² + 11² = 219.

Suy ra $BC=\sqrt{219}\approx 14,8$ cm.

Bài 4. Giải tam giác ABC vuông tại A. Gọi BC = a, AC = b, AB = c. Giải tam giác ABC, biết:

a) c = 3,8 cm và $\hat{B}=51°$;

b) a = 11 cm và $\hat{C}=60°$.

Hướng dẫn giải

a) Xét tam giác ABC vuông tại A.

Áp dụng hệ thức giữa cạnh và góc trong tam giác vuông, ta có:

cosB = $\frac{AB}{BC}$ hay $\cos 51°=\frac{3,8}{BC}$ suy ra BC = 6 cm.

AC = cos51°.BC = cos51°.BC = 4,6 cm.

b) Ta có: $\hat{C}=60°$, suy ra $\hat{B}=30°$.

Do đó, AB = sin60°.11 = 8,6 cm.

AC = cos60°.11 = 4,3 cm.

Bài 5. Giải tam giác ABC vuông tại A có AB = 12 cm, AC = 16 cm và BC = 20 cm. Tính các góc của tam giác ABC (làm tròn đến độ)

Hướng dẫn giải

Ta có: sin A = $\frac{AC}{BC}=\frac{16}{20}=0,8$ suy ra $\hat{A}\approx 53°$.

Ta có: $\hat{C}=90°-\hat{B}=90°-53°=37°$.

Bài 6. Cho tam giác ABC có $\hat{B}=65°$; $\hat{C}=45°$ và AB = 2,8 cm. Hãy giải tam giác đó. (Làm tròn góc đến độ và độ dài cạnh đến hàng phần mười).

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat{BAC}=180°-\left(\hat{B}+\hat{C}\right)=180°-\left(65°+45°\right)=70°$.

Từ A kẻ đường cao AH vuông góc với BC.

Xét tam giác vuông AHB, ta có:

BH = cos 65°.AB = cos65°.2,8 ≈ 1,2 cm.

AH = sin 65°.AB = sin65°.2,8 ≈2,5 cm.

Xét tam giác HAC, ta có: $\widehat{AHC}=90°,\widehat{HCA}=45°$.

Suy ra, tam giác HAC vuông cân tại H.

Do đó, AH = HC = 2,5 cm.

Áp dụng định lí Pythagore, ta có AH² + HC² = AC²

Suy ra AC = $2,5\sqrt{2}$ ≈ 3,5 cm.

Ta có: BC = BH + HC = 1,2 + 2,5 = 3,7 cm.

Vậy có BC = 3,7 cm, AC = 3,5 cm và $\widehat{BAC}=70°$.

Bài 7. Giải tam giác ABC biết $\hat{B}=65°$; $\hat{C}=40°$ và BC = 4,2 cm. (Độ dài các cạnh làm tròn đến hàng phần mười)

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat{BAC}=180°-\left(\hat{B}+\hat{C}\right)=180°-\left(65°+40°\right)=75°$

Từ A kẻ đường cao AH vuông góc với BC.

Xét tam giác vuông AHB, ta có:

tan 65° = $\frac{AH}{BH}$, suy ra BH = $\frac{AH}{\tan 65°}$.

Xét tam giác HAC, ta có:

tan 40° = $\frac{AH}{CH}$, suy ra CH = $\frac{AH}{\tan 40°}$.

Ta có: BC = BH + HC = $\frac{AH}{\tan 40°}$ + $\frac{AH}{\tan 65°}$ = AH. $\left(\frac{1}{\tan 65°}+\frac{1}{\tan 40°}\right)$.

Do đó, AH = $\frac{1}{\left(\frac{1}{\tan 65°}+\frac{1}{\tan 40°}\right)}\approx 2,5$ cm.

Xét tam giác vuông AHB, ta có: sin 65° = $\frac{AH}{AB}$, suy ra AB = $\frac{AH}{\sin 65°}\approx 2,8$ cm.

Xét tam giác vuông AHC, ta có: sin 40° = $\frac{AH}{AC}$, suy ra AC = $\frac{AH}{\sin 40°}\approx 3,9$ cm.

Vậy có BA = 2,8 cm, AC = 3,9 cm và $\widehat{BAC}=75°$.

Bài 8. Giải tam giác nhọn ABC biết AB = 2,1; AC = 3,8 và $\hat{B}=70°$. (Kết quả độ dài các cạnh làm tròn đến hàng phần mười, góc làm tròn đến độ)

Hướng dẫn giải

Kẻ AH vuông góc với BC tại H.

Xét tam giác BHA vuông tại H, ta có:

AH = sin 70°.AB = sin 70°.2,1 ≈ 2.

BH = cos 70°.AB = cos 70°.2,1 ≈ 0,7.

Xét tam giác HAC vuông tại H, ta có:

sinC = $\frac{AH}{AC}=\frac{2}{3,8}$ suy ra $\hat{C}\approx 32°$.

HC = cosC.AC = cos 32°. 3,8 ≈ 3,2.

Do đó, BC = BH + HC = 3,2 + 0,7 = 3,9 cm.

Xét tam giác ABC, ta có: $\widehat{BAC}=180°-\left(\hat{B}+\hat{C}\right)=180°-\left(70°+32°\right)=78°$

Vậy BC = 3,9 cm và $\widehat{BAC}=78°$.

Bài 9. Giải tam giác nhọn ABC biết $\hat{B}=60°$, AB = 3,0 và BC = 4,5. (Độ dài các cạnh làm tròn đến hàng phần mười, góc làm tròn đến độ)

Hướng dẫn giải

Xét tam giác AHB vuông tại H, ta có:

AH = sin 60°.AB = sin 60°.3 = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

BH = cos 60°. AB = cos 60°. 3 = 1,5.

Tao có BH + HC = BC, suy ra HC = BC – BH = 4,5 – 1,5 = 3.

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

$\tan C=\frac{AH}{HC}=\frac{3\sqrt{3}}{2}:3=\frac{\sqrt{3}}{2}$ nên $\hat{C}\approx 41°$.

$\sin C=\frac{AH}{AC}$ suy ra AC = $\frac{AH}{\sin C}=\frac{3\sqrt{3}}{2}:\sin 41°\approx 4$

Xét tam giác ABC, ta có:

$\widehat{BAC}=180°-\left(\hat{B}+\hat{C}\right)=180°-\left(60°+41°\right)=79°$.

Vậy AC = 4, $\hat{C}=41°,\hat{A}=79°$.

Bài 10. Cho tam giác ABC bằng hình vẽ bên dưới đây. Hãy giải tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác vuông AHC, ta có:

$\sin C=\frac{AH}{AC}$, suy ra AC = $\frac{AH}{\sin C}=\frac{6}{\sin 35°}\approx 10,5$.

HC = cos 35°. AC = cos 35°. 10,5 ≈ 8,6.

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

BH = cot 40°.AH = cot 40°. 6 ≈ 7,2.

sin B = $\frac{AH}{AB}$, suy ra $AB=\frac{AH}{\sin B}=\frac{6}{\sin 40°}\approx 9,3$.

Ta có BC = BH + HC = 8,6 + 7,2 = 15,8.

Xét tam giác ABC, có:

$\widehat{BAC}=180°-\left(\hat{B}+\hat{C}\right)=180°-\left(40°+35°\right)=105°$.

Vậy AC = 10,5, AB = 9,3; BC = 15,8 và $\widehat{BAC}=105°$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tính tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
• Một số bài toán thực tế liên quan đến tỉ số lượng giác của góc nhọn
• Chứng minh đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác
• Tính cạnh, góc và diện tích tam giác
• Ứng dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để ước lượng khoảng cách, chiều cao

---