Tính tỉ số lượng giác trong tam giác vuông lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính tỉ số lượng giác trong tam giác vuông lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

1. Cách giải bài tập

Với 0° < α < 90°, ta có:

• sin(90° − α) = cos α.

• cos(90° − α) = sin α.

• tan(90° − α) = cot α.

• cot(90° − α) = tan α.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A. Tính tỉ số lượng giác của góc B trong mỗi trường hợp sau:

a) BC = 5 cm; AB = 3 cm.

b) AB = $\sqrt{3}a$; AC = a.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta được: AC = $\sqrt{5^2-3^2}=4$ cm.

Ta có: sin B = $\frac{AC}{BC}=\frac{4}{5}$; cos B = $\frac{AB}{BC}=\frac{3}{5}$; tan B = $\frac{AC}{AB}=\frac{4}{3}$; cot B = $\frac{AB}{AC}=\frac{3}{4}$.

b) Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta được: BC = $\sqrt{3a^2+a^2}=2a$.

Ta có: sin B = $\frac{AC}{BC}=\frac{a}{2a}=\frac{1}{2}$; cos B = $\frac{AB}{BC}=\frac{a\sqrt{3}}{2a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$;

tan B = $\frac{AC}{AB}=\frac{a}{a\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$; cot B = $\frac{AB}{AC}=\frac{a\sqrt{3}}{a}=\sqrt{3}$.

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 4 cm, BC = 6 cm. Tính tỉ số lượng giác của góc C.

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AC² + AB² = BC² suy ra AB² = $\sqrt{B{C}^2-A{C}^2}=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}$ (cm).

Ta có:

sin C = $\frac{AB}{BC}=\frac{2\sqrt{5}}{6}=\frac{\sqrt{5}}{3}$;

cos C = $\frac{AC}{BC}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$;

tan C = $\frac{AB}{AC}=\frac{2\sqrt{5}}{4}=\frac{\sqrt{5}}{2}$;

cot C = $\frac{AC}{AB}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 2 cm, AC = 3 cm. Giá trị tan C là

A. $\frac{2}{3}$.

B. $\frac{3}{2}$.

C. $\frac{2}{\sqrt{13}}$

D.$\frac{3}{\sqrt{13}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: tan C = $\frac{AB}{AC}=\frac{2}{3}$.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 5 cm và BC = $5\sqrt{2}$ cm. Số đo của góc B là:

A. 45°.

B. 30°.

C. 60°.

D. 75°.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: cos B = $\frac{AB}{BC}=\frac{5}{5\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Nhận thấy cos B = cos45°.

Suy ra $\hat{B}=45°$.

Bài 3. Cho tam giác MNP có MN = 5 cm, MP = 12 cm, NP = 13 cm. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. Tam giác MNP vuông tại M.

B. sin N = $\frac{12}{13}$.

C. cos N = $\frac{5}{13}$.

D. tan N = $\frac{5}{12}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí pythagore đảo, ta có:

MN² + MP² = 5² + 12² = 169 = 13² = NP².

Suy ra tam giác MNP vuông tại M.

Ta có: sin N = $\frac{12}{13}$; cos N = $\frac{5}{13}$, tan N = $\frac{12}{5}$.

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 8 cm và BC = 17 cm. Mệnh đề nào dưới đây là sai?

A. sin B = $\frac{15}{17}$.

B. cos B = $\frac{8}{17}$.

C. tan B = $\frac{17}{8}$.

D. cot C = $\frac{8}{15}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

AB² + AC² = BC²

AC² = BC² – AB² = 17² – 8² = 225.

AC = 15 (cm).

Ta có: sin B = $\frac{AC}{BC}=\frac{15}{17}$; cos B = $\frac{AB}{BC}=\frac{15}{17}$; tan B = $\frac{AC}{AB}=\frac{15}{8}$; cot B = $\frac{AB}{AC}=\frac{8}{15}$.

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 0,9 cm và AB = 1,2 cm. Khẳng định nào dưới đây là đúng?

A. sin C = $\frac{3}{5}$.

B. cos C = $\frac{4}{5}$.

C. tan C = $\frac{4}{3}$.

D. cot C = $\frac{5}{4}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Xét tam giác ABC vuông tại A, áp dụng định lí Pythagore, ta có:

AB² + AC² = BC²

BC² = 1,2² + 0,9² = 2,25.

BC = 1,5 (cm).

Ta có: sin C = $\frac{AB}{BC}=\frac{1,2}{1,5}=\frac{4}{5}$;

cos C = $\frac{AC}{BC}=\frac{0,9}{1,5}=\frac{3}{5}$;

tan C = $\frac{AB}{AC}=\frac{1,2}{0,9}=\frac{4}{3}$;

cot C = $\frac{AC}{AB}=\frac{0,9}{1,2}=\frac{3}{4}$.

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 6 cm, AC = 8 cm. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định dưới đây?

A. sin B = cos C = 0,8.

B. cos B = sin C = 0,6.

C. tan B = cot C = $\frac{4}{3}$.

D. cot B = tan C = $\frac{5}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:

AB² + AC² = BC², suy ra BC² = 6² + 8² = 100, do đó BC = 10 cm.

Ta có: sin B = cos C = $\frac{AC}{BC}=\frac{8}{10}=0,8$;

cos B = sin C = $\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=0,6$;

tan B = cot C = $\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$;

cot B = tan C = $\frac{AC}{AB}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$.

Bài 7. Cho tam giác ABC có AB = $a\sqrt{5}$, BC = $a\sqrt{3}$, AC = $a\sqrt{2}$. Khẳng định nào dưới đây là sai?

A. Tam giác ABC vuông tại B.

B. sin A = $\frac{\sqrt{15}}{5}$.

C. cos A = $\frac{\sqrt{10}}{5}$.

D. tan A = $\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Áp dụng định lí Pythagore đảo, ta có:

AC² + BC² = 3a² + 2a² = 5a² = AB².

Do đó, tam giác ABC vuông tại C.

Ta có: sin A = $\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$;

cos A = $\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{10}}{5}$;

tan A = $\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$.

Bài 8. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1,6 cm; AC = 1,2 cm. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. sin B = cos C = $\frac{4}{5}$.

B. tan B = tan C = $\frac{3}{4}$.

C. sin C = cot B = $\frac{4}{5}$.

D. tan C = cot B = $\frac{4}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC vuông tại A, ta có:

AB² + AC² = BC²

1,6² + 1,2² = BC²

Suy ra BC = 2 cm.

Ta có: sin B = cos C = $\frac{AC}{BC}=\frac{1,2}{2}=\frac{3}{5}$;

tan B = cot C = $\frac{AC}{AB}=\frac{1,2}{1,6}=\frac{3}{4}$;

sin C = cos B = $\frac{AB}{BC}=\frac{1,6}{2}=\frac{4}{5}$;

tan C = cot B = $\frac{AB}{AC}=\frac{1,6}{1,2}=\frac{4}{3}$.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có cos B = 0,6. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. tan B = $\frac{3}{4}$.

B. cot B = $\frac{4}{3}$.

C. sin C = 0,6.

D. cos C = 0,4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: cos B = sin C = 0,6.

Vậy chọn C.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 13 cm, BH = 5 cm. Giá trị sin B là

A. $\frac{5}{13}$.

B. $\frac{5}{12}$.

C. $\frac{12}{13}$.

D. $\frac{12}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có đường cao AH nên tam giác ABH vuông tại H.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABH, ta có:

AH² + BH² = AB²

5² + BH² = 13²

Suy ra BH = 12 cm.

Ta có sin B = $\frac{AH}{AB}=\frac{5}{13}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Một số bài toán thực tế liên quan đến tỉ số lượng giác của góc nhọn
• Chứng minh đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác
• Giải tam giác vuông
• Tính cạnh, góc và diện tích tam giác
• Ứng dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để ước lượng khoảng cách, chiều cao

---