Chứng minh đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Chứng minh đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Chứng minh đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác.

1. Cách giải bài tập

• Với góc nhọn α, ta có:

0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1.

cot α = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{\tan \alpha }$.

tan α = $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{1}{\cot \alpha }$.

sin² α + cos² α = 1.

tan α + cot α = 1.

1 + tan² α = $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$.

1 + cot² α = $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$.

• Ta có: cos²α + sin²α = 1 với 0° ≤ α ≤ 180°.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC), $\hat{C}=\alpha <45°$, đường trung tuyến AM, đường cao AH, MA = MB = MC = a. Chứng minh rằng:

a) sin2α = 2sinαcosα;

b) 1 + cos2α = 2cos²α;

c) 1 – cos2α = 2sin²α.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\widehat{AMH}=2\alpha$.

Suy ra sin2α = $\frac{AH}{AM}=\frac{2AH}{2AM}=\frac{2AH}{BC}=2\frac{AB.AC}{B{C}^2}=2\sin \alpha .\cos \alpha$.

b) 1 + cos2α = $1+\sin \widehat{AMH}=1+\frac{HM}{AM}=\frac{HC}{AM}=\frac{2HC}{BC}=2.\frac{A{C}^2}{B{C}^2}=2{\cos }^2\alpha$.

c) 1 – cos2α = $1-\cos \widehat{AMH}=1-\frac{HM}{AM}=\frac{HB}{AM}=\frac{2BH}{BC}=2.\frac{A{B}^2}{B{C}^2}=2{\sin }^2\alpha$.

Ví dụ 2. Cho tam giác nhọn ABC hai đường cao AD và BE cắt nhau tại H. Biết $\frac{HD}{HA}=\frac{1}{2}$. Chứng minh rằng tanB.tanC = 3.

Hướng dẫn giải

Ta có: tanB = $\frac{AD}{BD}$; tanC = $\frac{AD}{CD}$ suy ra tanB.tanC = $\frac{A{D}^2}{CD.BD}$ (1)

Có $\widehat{HBD}=\widehat{CAD}$ (cùng phụ với $\widehat{ACB}$); $\widehat{HDB}=\widehat{ADC}$ = 90°.

Do đó, ∆BDH và ∆ADC đồng dạng theo trường hợp góc góc.

Suy ra $\frac{DH}{DC}=\frac{BD}{AD}$, do đó BD.DC = DH.AD (2).

Từ (1) và (2) suy ra tanB.tanC = $\frac{A{D}^2}{DH.AD}=\frac{AD}{DH}$ (3).

Theo giả thiết $\frac{HD}{AH}=\frac{1}{2}$ suy ra $\frac{HD}{AH+HD}=\frac{1}{3}$ hay $\frac{HD}{AD}=\frac{1}{3}$.

Suy ra AD = 3HD.

Thay vào (3), ta được: tanB.tanC = $\frac{3HD}{HD}$ = 3.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng $\sin \frac{A}{2}\le \frac{a}{b+c}$.

Hướng dẫn giải

Vẽ đường phân giác AD của tam giác ABC.

Theo tính chất đường phân giác của tam giác, ta có: $\frac{DB}{AB}=\frac{DC}{AC}$.

Suy ra $\frac{BD}{AB}=\frac{BD+DC}{AB+AC}=\frac{BC}{AC+AC}$.

Vậy $\frac{BD}{AB}=\frac{a}{b+c}$.

Kẻ BI⊥AD (I ∈ AD), suy ra BI ≤ BD.

∆IAB có $\widehat{AIB}=90°$.

Do đó, sin$\widehat{BAI}$ = $\frac{BI}{AB}$ hay $\sin \frac{A}{2}\le \frac{a}{b+c}$.

Bài 2. Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, BC = a, AC = b, AB = c. Chứng minh rằng: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.

Hướng dẫn giải

Vẽ AH⊥BC, H ∈ BC.

Vì trong tam giác HAB có $\hat{H}=90°$ nên sin B = $\frac{AH}{AB}$.

Do trong tam giác AHC có $\hat{H}=90°$ nên sin C = $\frac{AH}{AC}$.

Do đó, $\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{AC}{AB}=\frac{b}{c}$ suy ra $\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.

Tương tự, ta suy ra $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$.

Vậy $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$.

Bài 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng $\frac{AC}{AB}=\frac{\sin B}{\sin C}$.

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC vuông tại A, ta có:

sinB = $\frac{AC}{BC}$; sinC = $\frac{AB}{BC}$.

Do đó, $\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{AC}{BC}:\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{BA}$ (đpcm).

Bài 4. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos²α + sin²α = 1 với 0° ≤ α ≤ 180°?

A. ${\cos }^2\frac{\alpha }{2}+{\sin }^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1}{2}$.

B. ${\cos }^2\frac{\alpha }{3}+{\sin }^2\frac{\alpha }{3}=\frac{1}{3}$.

C. ${\cos }^2\frac{\alpha }{4}+{\sin }^2\frac{\alpha }{4}=\frac{1}{4}$.

D. $5\left({\cos }^2\frac{\alpha }{5}+{\sin }^2\frac{\alpha }{5}\right)=5$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: cos²α + sin²α = 1 với 0° ≤ α ≤ 180° nên ta cũng có:

${\cos }^2\frac{\alpha }{5}+{\sin }^2\frac{\alpha }{5}$ = 1.

Suy ra $5\left({\cos }^2\frac{\alpha }{5}+{\sin }^2\frac{\alpha }{5}\right)=5$.

Bài 5. Cho tam giác ABC, tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau.

A. sinA = sin(B + C).

B. tanA = tan(B + C).

C. cos$\frac{A}{2}$ = sin$\frac{B+C}{2}$ .

D. tanA = −tan(B + C).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABC, ta có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ nên $\hat{A}=180°-\left(\hat{B}+\hat{C}\right)$

hay $\hat{B}+\hat{C}=180°-\hat{A}$.

Do đó sin A = sin (180° − $\hat{A}$) = sin (B + C).

Suy ra khẳng định A là đúng.

Lại có $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$ suy ra $\frac{\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}}{2}=\frac{180°}{2}=90°$.

Do đó: cos$\frac{A}{2}$ = sin$\frac{B+C}{2}$ (hai góc phụ nhau).

Suy ra khẳng định C là đúng.

Mặt khác tanA = −tan(180° − A) = −tan(B + C).

Suy ra khẳng định D là đúng.

Vậy chọn đáp án B.

Bài 6. Cho góc x với 0° < x < 90°. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức nào là đúng?

A. $\frac{1+\cot x}{1-\cot x}=\frac{\tan x+1}{\tan x-1}$.

B. $\frac{1+\cot x}{1-\cot x}=\frac{\tan x}{\tan x-1}$.

C. $\frac{1+\cot x}{1-\cot x}=\frac{\tan x+1}{\tan x}$.

D. $\frac{1+\cot x}{1-\cot x}=\frac{{\tan }^{2}x+1}{\tan x-1}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: cotx = $\frac{\cos x}{\sin x}$.

Do đó, ta có: $\frac{1+\cot x}{1-\cot x}=\frac{1+\frac{\cos x}{\sin x}}{1-\frac{\cos x}{\sin x}}$

$=\frac{\frac{\sin x+\cos x}{\sin x}}{\frac{\sin x-\cos x}{\sin x}}=\frac{\sin x+\cos x}{\sin x-\cos x}=\frac{\frac{\sin x}{\cos x}+1}{\frac{\sin x}{\cos x}-1}$

Suy ra $\frac{1+\cot x}{1-\cot x}=\frac{\tan x+1}{\tan x-1}$.

Bài 7. Với 0° ≤ x ≤ 180°, biểu thức (sinx + cosx)² bằng

A. 1.

B. 1 + 2sinxcosx.

C. 1 – 2sinxcosx.

D. 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

(sinx + cosx)² = sin²x + 2sinxcosx + cos²x = 1 + 2sinxcosx.

Bài 8. Với 0° ≤ x ≤ 180°, đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A. sin⁴x + cos⁴x = 1.

B. sin⁴x + cos⁴x = sin²x – cos²x.

C. sin⁴x + cos⁴x = 1 – 2sin²xcos²x.

D. sin⁴x + cos⁴x = 1 + 2sin²xcos²x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: sin⁴x + cos⁴x = (sin²x)² + 2sin²xcos²x + (cos²x)² – 2sin²xcos²x

= (sin²x + cos²x)² – 2sin²xcos²x

= 1 – 2sin²xcos²x.

Bài 9. Cho 0° ≤ x ≤ 180°, thu gọn đẳng thức (sin²x + cos²x)² + (sin²x – cos²x)² được

A. 0.

B. 2 – 2sin²xcos²x.

C. 2 + 4sin²xcos²x.

D. 2 – 4sin²xcos²x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: (sin²x + cos²x)² + (sin²x – cos²x)²

= 1 + sin⁴x + cos⁴x – 2sin²xcos²x

= 1 + (sin²x + cos²x)² – 2sin²xcos²x – 2sin²xcos²x

= 2 – 4sin²xcos²x.

Bài 10. Biểu thức A = 1 – (sin⁶x + cos⁶x) bằng

A. 3sin²xcos²x.

B. sin²x.

C. 1 – 3sin²xcos²x.

D. 2 + sin²x.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

A = 1 – (sin⁶x + cos⁶x)

= 1 – (sin²x + cos²x)(sin⁴x – sin²xcos²x + cos⁴x)

= 1 – (sin⁴x – sin²xcos²x + cos⁴x)

= 1 – (sin²x + cos²x)² + 3sin²xcos²x

= 3sin²xcos²x.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tính tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
• Một số bài toán thực tế liên quan đến tỉ số lượng giác của góc nhọn
• Giải tam giác vuông
• Tính cạnh, góc và diện tích tam giác
• Ứng dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để ước lượng khoảng cách, chiều cao

---