Tính giá trị biểu thức lượng giác lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề Cách giải bài tập bài tập Tính giá trị biểu thức lượng giác lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính giá trị biểu thức lượng giác.

1. Cách giải bài tập

• Ta có bảng lượng giác của một số góc đặc biệt

α	30°	45°	60°
sin α	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos α	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
tan α	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$
cot α	$\sqrt{3}$	1	$\frac{\sqrt{3}}{3}$

• Với góc nhọn α, ta có:

0 < sin α < 1, 0 < cos α < 1.

cot α = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{1}{\tan \alpha }$ .

tan α = $\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{1}{\cot \alpha }$ .

sin² α + cos² α = 1.

tan α + cot α = 1.

1 + tan² α = $\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ .

1 + cot² α = $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính giá trị của mỗi biểu thức sau:

a) sin² 45° + cos² 45°;

b) tan30°.cot30°;

c) $\frac{\sin 30°.\cos 60°}{\tan 45°}$

Hướng dẫn giải

a) sin² 45° + cos² 45° = ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2=\frac{2}{4}+\frac{2}{4}=1$ .

b) tan30°.cot30° = ${\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)}^2.{\left(\sqrt{3}\right)}^2=\frac{3}{9}.3=1$ ;

c) $\frac{\sin 30°.\cos 60°}{\tan 45°}=\frac{\frac{1}{2}.\frac{1}{2}}{1}=1$ .

Ví dụ 2. Tính giá trị của các biểu thức sau:

a) A = $\frac{2.\cos 45°}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}\tan 30°$ ;

b) B = $\frac{2.\cos 60°}{\sqrt{3}}-\cot 45°$ .

Hướng dẫn giải

a) A = $\frac{2.\cos 45°}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}\tan 30°$ =$\frac{2.\frac{\sqrt{2}}{2}}{\sqrt{2}}+\sqrt{3}.\frac{\sqrt{3}}{3}=1+1=2$.

b) B = $\frac{2.\cos 60°}{\sqrt{3}}-\cot 45°$ = $\frac{2.\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}}-1=1-1=0$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Giá trị của biểu thức A = sin61° − cos29° là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: A = sin61° − cos29° = sin61° − sin61° = 0.

Bài 2. Giá trị của biểu thức B = cos15° − sin75° là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. .

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: B = cos15° − sin75° = cos15° − cos15° = 0.

Bài 3. Giá trị của biểu thức A = tan45°.cos30°.cot30° là

A. 1.

B. .

C. .

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có: A = tan45°.cos30°.cot30° = 1. $\frac{\sqrt{3}}{2}$.$\sqrt{3}$ = $\frac{3}{2}$ .

Bài 4. Giá trị của biểu thức A = 4 – sin²45° + 2cos²60° − 3cot³45° là

A. 1.

B. $\frac{3}{2}$ .

C.$\frac{7}{2}$ .

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: A = 4 – sin²45° + 2cos²60° − 3cot³45°

= 4 – ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$ + 2. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ − 3.1³

= 4 – $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ - 3

= 1.

Bài 5. Giá trị của biểu thức B = cos²15° + cos²25° +…+ cos²75° là

A. 1.

B. $\frac{3}{2}$.

C. $\frac{7}{2}$.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: B = cos²15° + cos²25° +…+ cos²75°

= (cos²15° + cos²75°) + (cos²25° + cos²65°) + ….+ cos²45°

= (cos²15° + sin²15°) + (cos²25° + sin²25°) + ….+ cos²45°

= 1 + 1 + 1 + 1+ ${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$ = $\frac{7}{2}$ .

Bài 6. Giá trị của biểu thức C = sin²10° + sin²20° +…+ sin²80° là

A. 1.

B. $\frac{3}{2}$.

C. $\frac{7}{2}$.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: C = sin²10° + sin²20° +…+ sin²80°

= (sin²10° + sin²80°) + (sin²20° + sin²70°) + ….+ (sin²40° + sin²50°)

= (sin²10° + cos²10°) + (sin²20° + cos²20°) +….+ (sin²40° + cos²40°)

= 1 + 1 + 1 + 1

= 4.

Bài 7. Giá trị của biểu thức M = 4cos²45° + $\sqrt{3}$cot30° − 16cos³60° là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: M = 4cos²45° + $\sqrt{3}$cot30° − 16cos³60°

= 4.${\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}^2$ + $\sqrt{3}$ .$\sqrt{3}$ − 16.${\left(\frac{1}{2}\right)}^3$

= 2 + 3 – 2

= 3.

Bài 8. Giá trị của biểu thức N = $\frac{2\sin 30°-\sin 60°}{{\cos }^{2}30°-\cos 60°}$ là

A. $4-2\sqrt{3}$

B. $4-\sqrt{3}$.

C. $3-2\sqrt{3}$.

D. $4\sqrt{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: N = $\frac{2\sin 30°-\sin 60°}{{\cos }^{2}30°-\cos 60°}$

= $\frac{2.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}}{{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{2-\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{4}}=4-2\sqrt{3}$ .

Bài 9. Cho tanα = 2. Giá trị của A = $\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }$ là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: tanα = 2 hay $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2$ suy ra sinα = 2cosα.

Do đó, ta có: A = $\frac{\sin \alpha +\cos \alpha }{\sin \alpha -\cos \alpha }=\frac{2\cos \alpha +\cos \alpha }{2\cos \alpha -\cos \alpha }=\frac{3\cos \alpha }{\cos \alpha }=3$.

Bài 10. Biết tanα = 2. Giá trị của biểu thức A = sin²α + 2sinαcosα – 3cos²α là

A. 1.

B. 2.

C. 3.

D. 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Ta có: tanα = 2 hay $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=2$ suy ra sinα = 2cosα.

Do đó, ta có:

A = sin²α + 2sinαcosα – 3cos²α

A = 4cos²α + 4cos²α – 3cos²α

A = 5cos²α

A = 5.$\frac{1}{1+{\tan }^2\alpha }$ = $\frac{5}{1+2^2}$ = 1.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tính tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
• Một số bài toán thực tế liên quan đến tỉ số lượng giác của góc nhọn
• Chứng minh đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác
• Giải tam giác vuông
• Tính cạnh, góc và diện tích tam giác

---