Cách giải phương trình chứa dấu căn lớp 9 (cực hay, có đáp án)

Trang trước Trang sau

Bài viết Cách giải phương trình chứa dấu căn lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách giải phương trình chứa dấu căn cực.

Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn có nhiều cách giải, sau đây là một số phương pháp thường dùng:

+ Nâng lên lũy thừa

+ Đặt ẩn phụ

+ Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

+ Sử dụng bất đẳng thức, đánh giá hai vế của phương trình

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

a) (√x - 2)(5 - √x) = 4 - x

Lời giải:

a) Dạng 1: Đưa phương trình đã cho về phương trình tích

ĐK: x ≥ 0

(√x - 2)(5 - √x) = 4 - x

⇔ (√x - 2)(5 - √x) = (2 - √x)(2 + √x)

⇔ (√x - 2)(5 - √x + 2 + √x) = 0

⇔ 7(√x - 2) = 0

⇔ √x - 2 = 0 ⇔ x = 4

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 4

b) Dạng 2: Đánh giá điều kiện của phương trình.

ĐK: Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

Thay x = 5 vào phương trình thấy không thỏa mãn

Vậy phương trình vô nghiệm

c) Dạng 3: Đưa về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

⇔ |x - 4| = x + 2

Vậy phương trình có nghiệm x = 1

d) Dạng 4: Đánh giá 2 vế của phương trình.

Vế trái của phương trình Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

Vế phải của phương trình 6 - (x + 1)² ≤ 6

Đẳng thức chỉ xảy ra khi x = -1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = -1

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

Chú ý: Các phương trình trên đều quy về phương trình dạng:

A + B + C = 0 (*)

Trong đó: A, B, C ≥ 0 nên phương trình (*) ⇔ A = B = C = 0.

Lời giải:

ĐK: x ≥ 0; y ≥ 1; z ≥ 2

Phương trình tương đương với:

Vậy phương trình có nghiệm x = -3.

Ví dụ 3: Giải phương trình sau:

Lời giải:

ĐK: x ≠ 0; x ≠ 1; x ≥ (-1)/3

Do Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải ∀x thỏa mãn ĐK nên

2x - 1 = 0 ⇔ x = 1/2 (TMĐK)

Vậy phương trình có nghiệm x = 1/2

Ví dụ 4: Giải phương trình sau:

Phương pháp giải: Phương trình có dạng: Các dạng bài tập Toán 9 có lời giải

Dùng phương pháp đặt ẩn phụ, đưa về: m + n = c + mn.

Lời giải:

Đặt

Phương trình có dạng: a + b = 1 + ab

⇔ a - 1 + b - ab = 0

⇔ a - 1 + b(1 - a) = 0

⇔ (a - 1)(1 - b) = 0

Bài 1. Giải các phương trình

a) $\sqrt{10 (x - 3)} = \sqrt{26};$

b) $\sqrt{36 x - 72} - 5 \sqrt{\frac{x - 2}{25}} = 4 (5 + \sqrt{x - 2});$

Hướng dẫn giải:

a) $\sqrt{10 (x - 3)} = \sqrt{26};$

Điều kiện: $x - 3 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 3$

$\sqrt{10 (x - 3)} = \sqrt{26} \Leftrightarrow 10 (x - 3) = 26 \Leftrightarrow 10 x = 56 \Leftrightarrow x = \frac{56}{10}$

Vậy phương trình có nghiệm S = ${\frac{56}{10}}$

b) $\sqrt{36 x - 72} - 5 \sqrt{\frac{x - 2}{25}} = 4 (5 + \sqrt{x - 2})$

Điều kiện: $x - 2 \geq 0 \Leftrightarrow x \geq 2$

$\sqrt{36 x - 72} - 5 \sqrt{\frac{x - 2}{25}} = 4 (5 + \sqrt{x - 2})$

$\Leftrightarrow \sqrt{36 (x - 2)} - 5 \frac{\sqrt{x - 2}}{\sqrt{25}} = 4.5 + 4 \sqrt{x - 2}$

$\Leftrightarrow \sqrt{36} . \sqrt{x - 2} - 5 \frac{\sqrt{x - 2}}{5} = 20 + 4 \sqrt{x - 2}$

$\Leftrightarrow 6 \sqrt{x - 2} - \sqrt{x - 2} - 4 \sqrt{x - 2} = 20$

$\Leftrightarrow (6 - 1 - 4) \sqrt{x - 2} = 20 \Leftrightarrow x - 2 = 400 \Leftrightarrow x = 402$

Vậy phương trình có nghiệm S = {402}

Bài 2. Giải phương trình: $\sqrt{x^{2} + 6 x + 9} = 3 x - 6$

Hướng dẫn giải:

Điều kiện: $3 x - 6 \geq 0 \Leftrightarrow 3 x \geq 6 \Leftrightarrow x \geq 2$

$\sqrt{x^{2} + 6 x + 9} = 3 x - 6 \Leftrightarrow \sqrt{{(x + 3)}^{2}} = 3 x - 6 \Leftrightarrow |x + 3| = 3 x - 6 \Leftrightarrow [\begin{matrix} x + 3 = 3 x + 6 \\ x + 3 = - 3 x + 6 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} - 2 x = - 9 \\ 4 x = 3 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{9}{2} (t m) \\ x = \frac{3}{4} (k t m) \end{matrix}$

Vậy phương trình có nghiệm S = { $\frac{9}{2}$ }

Bài 3. Phương trình $\sqrt{25 x^{2} - 9} = 2 \sqrt{5 x - 3}$ có nghiệm $x = \frac{a}{b}$ . Hãy tính tổng a + b.

Hướng dẫn giải:

$\sqrt{25 x^{2} - 9} = 2 \sqrt{5 x - 3} \Leftrightarrow \sqrt{25 x^{2} - 9} = \sqrt{4 (5 x - 3)} \Leftrightarrow \sqrt{25 x^{2} - 9} = \sqrt{20 x - 12}$

Điều kiện: $20 x - 12 \geq 0 \Leftrightarrow 20 x \geq 12 \Leftrightarrow x \geq \frac{3}{5}$

Ta có: $\sqrt{25 x^{2} - 9} = \sqrt{20 x - 12}$

$\Leftrightarrow 25 x^{2} - 9 = 20 x - 12 \Leftrightarrow 25 x^{2} - 20 x + 3 = 0 \Leftrightarrow (5 x - 1) (5 x - 3) = 0 \Leftrightarrow [\begin{matrix} 5 x - 1 = 0 \\ 5 x - 3 = 0 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} 5 x = 1 \\ 5 x = 3 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} x = \frac{1}{5} (k t m) \\ x = \frac{3}{5} (t m) \end{matrix}$

Vậy phương trình có nghiệm S = { $\frac{3}{5}$ }

Ta thấy x = $\frac{a}{b} = \frac{3}{5} .$ Vậy tổng a + b = 3 + 5 = 8.

Bài 4. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x + 4 - 4 \sqrt{x}} - \sqrt{x + 9 - 6 \sqrt{x}} = 1$ (*)

Hướng dẫn giải:

- Điều kiện: x $\geq$ 0

- Mặt khác, ta thấy: $\sqrt{x + 4 - 4 \sqrt{x}} - \sqrt{x + 9 - 6 \sqrt{x}} = \sqrt{{(\sqrt{x} - 2)}^{2}} - \sqrt{{(\sqrt{x} - 3)}^{2}}$ nên ta có:

(*) $\Leftrightarrow |\sqrt{x} - 2| - |\sqrt{x} - 3| = 1$ (**)

- Ta xét các trường hợp để phá dấu trị tuyệt đối:

+ Trường hợp 1: Nếu $\{\begin{cases} \sqrt{x} - 2 \geq 0 \\ \sqrt{x} - 3 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \sqrt{x} \geq 3 \Leftrightarrow x \geq 9$ ta có:

(**) $\Leftrightarrow \sqrt{x} - 2 - \sqrt{x} + 3 = 1 \Leftrightarrow 0 . \sqrt{x} = 0$

⇒ Phương trình có vô số nghiệm $x \geq 9$ .

+ Trường hợp 2: Nếu $\{\begin{cases} \sqrt{x} - 2 \geq 0 \\ \sqrt{x} - 3 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x \geq 4 \\ x < 9 \end{cases} \Leftrightarrow 4 \leq x < 9$ ta có:

(**) $\Leftrightarrow (\sqrt{x} - 2) - (3 - \sqrt{x}) = 1 \Leftrightarrow 2 \sqrt{x} = 6 \Leftrightarrow x = 9$

⇒ Đối chiếu với điều kiện ta thấy x = 9 không thỏa mãn nên loại.

+ Trường hợp 3: Nếu $\{\begin{cases} \sqrt{x} - 2 < 0 \\ \sqrt{x} - 3 \geq 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x < 4 \\ x \geq 9 \end{cases} \Leftrightarrow x \in \emptyset$ .

+ Trường hợp 4: Nếu $\{\begin{cases} \sqrt{x} - 2 < 0 \\ \sqrt{x} - 3 < 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} x < 4 \\ x < 9 \end{cases} \Leftrightarrow x < 4$ ta có:

(**) $\Leftrightarrow (\sqrt{x} - 2) - (3 - \sqrt{x}) = 1 \Leftrightarrow 0 . \sqrt{x} = 0$

⇒ Phương trình có vô nghiệm.

Vậy phương trình có vô số nghiệm khi x $\geq$ 9.

Bài 5. Giải phương trình: $\sqrt[3]{x - 1} = 2$

Hướng dẫn giải:

$\sqrt[3]{x - 1} = 2 \Leftrightarrow x - 1 = 2^{3} \Leftrightarrow x - 1 = 8 \Leftrightarrow x = 9 .$

Bài 6. Giải các phương trình sau:

a) $\sqrt{2 x^{2} - 3} = \sqrt{4 x - 3};$

b) $\sqrt{x^{2} - x - 6} = \sqrt{x - 3};$

c) $\sqrt{x^{2} - 4 x + 4} = \sqrt{4 x^{2} - 12 x + 9} .$

Bài 7. Số nghiệm của phương trình $\sqrt{x^{2} - 8 x + 16} + |x + 2| = 0$

Bài 8. Giải các phương trình sau:

a) $\frac{\sqrt{2 x - 3}}{\sqrt{x - 1}} = 2;$

b) $\frac{10 x - 3}{\sqrt{2 x + 1}} = \sqrt{2 x + 1};$

c) $\frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 5} = \frac{\sqrt{x} - 4}{\sqrt{x} - 6} .$

Bài 9. Giải các phương sau:

a) $\sqrt[3]{x + 1} = \sqrt{x - 3};$

b) $3 \sqrt[3]{x - 3} + 4 \sqrt[3]{8 x - 24} - \frac{1}{3} \sqrt[3]{3} . \sqrt[3]{9 x - 27} = - 20$

Bài 10. Tính tổng số nghiệm của phương trình: $\sqrt[3]{13 - x} + \sqrt[3]{22 + x} = 5 .$

Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Trang trước Trang sau

chuong-1-can-bac-hai-can-bac-ba.jsp

Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học