Bài tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn (chọn lọc, có lời giải)

---

---

Bài viết Tỉ số lượng giác của góc nhọn với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tỉ số lượng giác của góc nhọn.

1. Phương pháp giải

Sử dụng các định nghĩa và tính chất của tỉ số lượng giác của góc nhọn:

⦁ Xét ∆ABC vuông tại A có $\alpha =\widehat{ABC}$. Khi đó ta có:

$\sin \alpha = \frac{AC}{BC}; \cos \alpha =\frac{AB}{BC}; \tan \alpha =\frac{AC}{AB}; cot \alpha =\frac{AB}{AC}.$

⦁ Với góc nhọn α bất kì, ta luôn có:

0 < sinα < 1; 0 < cosα < 1.

tanα.cotα = 1; sin²α + cos²α = 1;

$1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }; 1+co{t}^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$.

Chú ý:

⦁ Nếu hai góc phụ nhau thì sin góc này bằng cos góc kia, tan góc này bằng cot góc kia và ngược lại.

⦁ Khi góc α tăng từ 0° đến 90° thì:

+ sinα tăng và tanα tăng;

+ cosα giảm và cotα giảm.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại C có BC = 1,2 cm và AC = 0,9 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC vuông tại A, theo định lí Pythagore có: AB² = AC² + BC²

Suy ra $AB=\sqrt{0,9^2+1,2^2}=1,5 \left(cm\right).$

Ta có $\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{0,9}{1,5}=0,6; \cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{1,2}{1,5}=0,8;$

$\tan B=\frac{\sin B}{\cos B}=\frac{0,6}{0,8}=0,75; \tan B=\frac{\cos B}{\sin B}=\frac{0,8}{0,6}=\frac{4}{3}.$

Ví dụ 2. Tìm cosα, tanα và cotα biết $\sin \alpha =\frac{1}{5}.$

Hướng dẫn giải:

Ta có: sin²α + cos²α = 1 nên cos²α = 1 - sin²α = $1-{\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{24}{25}.$

Mà 0 < cosα < 1 nên cosα = $\frac{2\sqrt{6}}{5}$

Do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{{\displaystyle \frac{1}{5}}}{{\displaystyle \frac{2\sqrt{6}}{5}}}=\frac{\sqrt{6}}{12}$và $cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{{\displaystyle \frac{\sqrt{6}}{12}}}=2\sqrt{6}.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho biết cosα = 0,4. Hãy tìm sin⁡α,tan⁡α,cot⁡α

Bài 2: Cho góc nhọn α. Biết rằng cosα - sinα = 1/5. Hãy tính cot⁡α

Bài 3: Cho biết tan⁡α + cot⁡α=3. Tính sin⁡α.cosα

Bài 4: Chứng minh các đẳng thức sau:

    a) cos⁴ x - sin⁴ x = cos² x - sin² x

    b) sin⁴ x + cos² x.sin² x + sin² x = 2sin² x

Bài 5: Chứng minh giá trị các biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của các góc nhọn α, β

    a) cos² α.cos² β + cos² α.sin² β + sin² α

    b) 2(sin⁡α - cos⁡α )² - (sin⁡α + cos⁡α )² + 6sin⁡α.cos⁡α

    c) (tan⁡α - cot⁡α )² - (tan⁡α + cot⁡α )²

Bài 6: Tính giá trị của các biểu thức sau mà không dùng bảng số hoặc máy tính

    a) M = sin² 15⁰ + sin² 25⁰ + sin² 35⁰ + sin² 45⁰ + sin² 55⁰ + sin² 65⁰ + sin² 75⁰

    b) N = 4cos² α - 3sin² α với cosα = 4/7

Bài 7: Cho tam giác ABC vuông tại A, BC = a, CA = b, AB = c. Chứng minh rằng:

Bài 8: Tam giác nhọn ABC có diện tích S, đường cao AH = h. Cho biết S = h², Chứng minh rằng cot⁡B + cot⁡C = 2

Đáp án và hướng dẫn giải

Bài 1:

    sin² α + cos² α = 1

Bài 2:

    sin² α + cos² α = 1

    ⇔ 25sin² α + 5 sin⁡α - 12 = 0

    ⇔(5sinα - 3)(5sinα + 4) = 0

Bài 3:

    tan⁡α + cot⁡α = 3

Bài 4:

    a) cos⁴ x - sin⁴ x = (cos² x - sin² x)(sin² α + cos² α)

    =(cos² x - sin² x).1 = cos² x - sin² x

    b) sin⁴ x + cos² x.sin² x + sin² x

    = sin² x(sin² x + cos² x) + sin² x

    = sin² x.1 + sin² x = 2sin² x

    c) (1 + tan⁡x )(1 + cot⁡x )-2

    = 1 + tan⁡α + cot⁡α + 1 - 2

Bài 5:

    a) cos² α.cos² β + cos² α.sin² β + sin² α

    = cos² = cos² α(cos² β + sin² β) + sin² α

    = cos² α.1 + sin² α

    = 1

    b) 2(sin⁡α - cos⁡α )² - (sin⁡α + cos⁡α )² + 6 sin⁡α.cos⁡α

    = 2(1 - 2sinα.cos⁡α ) - (1 + 2sinα.cos⁡α ) + 6sinα.cos⁡α

    = 1 - 6sinα.cos⁡α + 6sinα.cos⁡α

    = 1

    c) (tan⁡α - cot⁡α )² - (tan⁡α + cot⁡α )²

    = (tan² α - 2 tan⁡α.cotα + cot² α) - (tan² α + 2 tan⁡α.cotα + cot² α )

    = -4 tan⁡α.cotα

    = -4.1 = -4

Bài 6:

    a) M = sin² 15⁰ + sin² 25⁰ + sin² 35⁰ + sin² 45⁰ + sin² 55⁰ + sin² 65⁰ + sin² 75⁰

    = (sin² 15⁰ + sin² 75⁰) + (sin² 25⁰ + sin² 65⁰ ) + (sin² 35⁰ + sin² 55⁰) + sin² 45⁰

    = (sin² 15⁰ + cos² 15⁰) + (sin² 25⁰ + cos² 25⁰ )+(sin² 35⁰ + cos² 35⁰ ) + sin² 45⁰

    = 1 + 1 + 1 + 1/2 = 7/2

    b) N = 4cos² α - 3sin² α với cosα = 4/7

    sin² α + cos² α = 1 ⇔ sin² α = 1-cos² α = 1-(4/7)² = 33/49

    N = 4cos² α - 3sin² α = 4.16/49 - 3.33/49 = (-5)/7

Bài 7:

Vẽ tia phân giác BD Theo tính chất tia phân giác ta có: Xét tam giác ABD vuông tại A có:

Bài 8:

    Ta có:

Bài 6. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 1,6 cm và AC = 1,2 cm. Tính các tỉ số lượng giác của góc B. Từ đó suy ra tỉ số lượng giác của góc C.

Bài 7. Cho tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH. Hãy tính sinB và sinC (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) biết BH = 3 cm và CH = 4 cm.

Bài 8. Cho tam giác ABC có $AB=a\sqrt{5}; BC=a\sqrt{3}$ và $AC=a\sqrt{2}$.

a) Chứng minh ABC là tam giác vuông.

b) Tính các tỉ số lượng giác của góc B.

Bài 9. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 30 cm, $\tan \alpha =\frac{5}{12}.$ Tính cạnh BC và AC.

Bài 10. Cho tam giác ABC vuông tại A, AB < AC và $\hat{C}=\alpha <{45}^o.$ Tam giác ABC có đường trung tuyến AM, đường cao AH có MA = MB = MC = a. Chứng minh:

a) sin2α = 2sinαcosα;

b) 1 + cos2α = 2cos²α;

c) 1 – 2cos2α = 2sin²α.

Chuyên đề Toán 9: đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

• Lý thuyết Chương 1: Hệ thức lượng trong tam giác vuông
• Chủ đề: Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
• Bài tập Hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông
• Chủ đề: Tỉ số lượng giác của góc nhọn
• Chủ đề: Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông
• Bài tập Hệ thức về góc và cạnh trong tam giác vuông
• Chủ đề: Cách tính diện tích tam giác bằng tỉ số lượng giác
• Bài tập tính diện tích tam giác bằng tỉ số lượng giác
• Bài tập trắc nghiệm Toán 9 Hệ thức lượng trong tam giác vuông (phần 1 - có đáp án)
• Bài tập trắc nghiệm Toán 9 Hệ thức lượng trong tam giác vuông (phần 2 - có đáp án)

---

---

---