Đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0): lý thuyết, các dạng bài tập có đáp án

Bài viết Lý thuyết Đồ thị hàm số y = ax2 lớp 9 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Đồ thị hàm số y = ax2.

1. Đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Đồ thị của hàm số y = ax² (a ≠ 0) là một đường cong đi qua gốc tọa độ và nhận trục Oy làm trục đối xứng. Đường cong đó được gọi là một parabol với đỉnh O.

    + Nếu a > 0 thì đồ thị nằm phía trên trục hoành, O là điểm thấp nhất của đồ thị.

    + Nếu a < 0 thì đồ thị nằm phía dưới trục hoành, O là điểm cao nhất cảu đồ thị.

2. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0)

Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2: Lập bảng giá trị (thường từ 5 đến 7 giá trị) tương ứng giữa x và y.

Bước 3: Vẽ đồ thị và kết luận.

* Chú ý: vì đồ thị hàm số y =ax² (a ≠ 0) luôn đi qua gốc tọa độ O và nhận trục Oy làm trục đối xứng nên khi vẽ đồ thị của hàm số này , ta chỉ cần tìm một số điểm bên phải trục Oy rồi lấy các điểm đối xứng với chúng qua Oy.

3. Ví dụ cụ thể

Câu 1: Vẽ đồ thị hàm số y = x².

Tập xác định: x ∈ R

Bảng giá trị tương ứng của x và y

x	0	1	-1	2	-2
y = x2	0	1	1	4	4

Trên mặt phẳng tọa độ, lấy các điểm O(0;0): A(1; 1); B (-1; 1); C(2; 4) và D( -2;4) rồi lần lượt nối chúng để được đường cong như hình dưới đây.

Đồ thị của hàm số y = x²:

Câu 2: Vẽ đồ thị hàm số y = -(1/2)x²

Tập xác định: x ∈ R

Bảng giá trị tương ứng của x và y

x	0	1	-1	2	-2
y = -(1/2)x2	0	-1/2	-1/2	-2	-2

Đồ thị

Trên mặt phẳng tọa độ lấy các điểm

Nối các điểm đó ta được đường cong như hình vẽ dưới đây là đồ thị hàm số

Câu 1: Cho hàm số y = ax² . Tìm giá trị nhỏ nhất của y khi x đi từ -2017 đến 2018

Lời giải:

Ta thấy rằng hệ số a của đồ thị này dương, nên đồ thị có giá trị nhỏ nhất là y = 0 tại x = 0

Nhận thấy rằng trong khoảng -2017 đến 2018 đi qua hoành độ x = 0

Do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số y = ax² là y(0) = 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của y bằng 0 tại x = 0

Câu 2: Cho hàm số . Tìm giá trị nhỏ nhất của y khi đi từ đến 2.

Lời giải:

Hệ số a của đồ thị này là số âm nên đồ thị này có giá trị lớn nhất là

* Khi x đi từ -1 đến 0 thì hàm số đồng biến nên trên đoạn [-1; 0] , hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = -1 và

* Khi x đi từ 0 đến 2 thì hàm số nghịch biến nên hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 2 trên đoạn

[ 0; 2] và y(2) = -1

* Suy ra, hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại x = 2 và

Câu 3: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho Parabol (P): y = 2x² . Vẽ đồ thị parabol (P)

Lời giải:

Vẽ Parabol (P): y = 2x²

Bảng giá trị giữa x và y:

x	-2	-1	0	1	2
y	8	2	0	2	8

Trên mặt phẳng tọa độ lấy các điểm A( - 2; 8); B(-1; 2) ; O(0; 0); C( 1;2) và D(2; 8).

Nối các điểm này ta được đường cong là đồ thị hàm số y = 2x²

Vẽ đúng đồ thị

Bài 1. Cho hàm số y = x² có đồ thị là (P). Hãy vẽ (P) trên hệ trục tọa độ.

Hướng dẫn giải:

Vẽ Parabol (P): y = x²

- Tập xác định: x ∈ R

- Bảng giá trị giữa x và y:

Trên mặt phẳng tọa độ lấy các điểm A(– 2; 4); B(– 1; 1); O(0; 0); C( 1; 1) và G(2; 4).

Nối các điểm này ta được đường cong là đồ thị hàm số y = x².

- Vẽ đồ thị:

Bài 2. Cho hàm số có $y=-\frac{1}{4}{x}^2$ đồ thị là (P). Hãy vẽ (P) trên hệ trục tọa độ.

Vẽ Parabol (P): $y=-\frac{1}{4}{x}^2$

- Tập xác định: x ∈ R

- Bảng giá trị giữa x và y:

Trên mặt phẳng tọa độ lấy các điểm A(– 4; – 4); B(– 2; – 1); O(0; 0); C(2; – 1) và G(4; – 4).

Nối các điểm này ta được đường cong là đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{4}{x}^2.$

- Vẽ đồ thị:

Bài 3. Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0) có đồ thị parabol (P). Xác định a để (P) đi qua điểm $M(\sqrt{2};-1)$ và $N(-\sqrt{2};1)$. Với giá trị a vừa tìm được hãy vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ.

Hướng dẫn giải:

- Thay $x=\sqrt{2}$ và y = – 1 vào hàm số y = ax².

Ta có: -1=a.($\sqrt{2}$)² $\iff a=-\frac{1}{2}$

Vậy đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2.$

- Thay x = $-\sqrt{2}$ và y = 1 vào hàm số y = ax².

Ta có: 1 = a.${(-\sqrt{2})}^2\iff a=\frac{1}{2}$

Vậy đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2.$

- Vẽ đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2$

Tập xác định: x ∈ R

Bảng giá trị giữa x và y:

Trên mặt phẳng tọa độ lấy các điểm F(– 4; – 8); G(– 2; – 2); C(0; 0); H(2; – 2) và I(4; – 4).

Nối các điểm này ta được đường cong là đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2$.

- Vẽ đồ thị hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^2$

Tập xác định: x ∈ R

Bảng giá trị giữa x và y:

Trên mặt phẳng tọa độ lấy các điểm A(– 4; 8); B(– 2; 2); C(0; 0); D(2; 2), E(4; – 8).

Nối các điểm này ta được đường cong là đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{4}{x}^2.$

Bài 4. Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0) có đồ thị parabol (P)

a) Xác định a để (P) đi qua điểm A($-\sqrt{2}$;-4);

b) Với giá trị a vừa tìm được ở trên hãy vẽ (P) trên mặt phẳng tọa đô.

Hướng dẫn giải:

a) Thay $x=-\sqrt{2}$ và y = – 4 vào hàm số y = ax².

Ta có: -4 = a.($-\sqrt{2}{)}^2\iff a=-2$

Vậy đồ thị hàm số y = – 2x².

b) Với a = – 2 ta vẽ đồ thị hàm số

- Tập xác định: x ∈ R

- Bảng giá trị giữa x và y:

Trên mặt phẳng Oxy lấy các điểm C(– 2; – 8); A(– 1; – 2); O(0; 0); B( 1; – 2); G(2; – 8).

Nối các điểm này ta được đường cong là đồ thị hàm số y = –2x².

- Vẽ đồ thị:

Bài 5. Cho hàm số y = 2x² có đồ thị là (P).

a) Hãy vẽ (P) trên hệ trục tọa độ;

b) Tìm các điểm trên (P) có tung độ bằng  6.

Hướng dẫn giải:

a) Vẽ Parabol (P): y = 2x²

- Tập xác định: x ∈ R

- Bảng giá trị giữa x và y:

Trên mặt phẳng tọa độ lấy các điểm C(- 2; 8); D(-1; 2) ; E(0; 0); F(1;2) và G(2; 8).

Nối các điểm này ta được đường cong là đồ thị hàm số y = 2x².

- Vẽ đồ thị:

b) Thay y = 6 vào y = 2x² ta tìm được $x=\pm \sqrt{3}.$

Vậy (P) có các điểm $(\sqrt{3};6),(-\sqrt{3};6)$ khi tung độ bằng 6.

Bài 6. Trong mặt phẳng Oxy, hãy vẽ các đồ thị parabol (P).

a) y = x²;

b) $y=-\frac{1}{4}{x}^2;$

c) $y=\frac{1}{2}{x}^2.$

Bài 7. Cho hàm số y =  – 2x² là đồ thi parabol (P).

a) Vẽ (P) trên hệ trục tọa độ;

b) Trong các điểm A(1; 2), B(– 1; – 2), C(10; – 200) điểm nào thuộc (P), điểm nào không thuộc (P).

Bài 8. Đồ thị parabol (P): y = 2x² hãy vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ và tìm các điểm thuộc (P) cách đều hai trục tọa độ.

Bài 9. Cho hàm số y = (m – 1)x² (m ≠ 1) có đồ thị parabol (P).

a) Xác định m để (P) đi qua điểm A($-\sqrt{3}$;1);

b) Với giá trị m vừa tìm được hãy vẽ (P) trên mặt phẳng tọa độ.

Bài 10. Cho đồ thị parabol (P): $y=\frac{1}{3}{x}^2.$

a) Vẽ (P) trên hệ trục tọa độ;

b) Tìm các điểm trên (P) có hoành độ bằng 1;

c) Tìm các điểm trên (P) có tung độ gấp đôi hoành độ.

Xem thêm lý thuyết và các dạng bài tập Toán lớp 9 có lời giải hay khác:

• Lý thuyết Bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn (hay, chi tiết)
• Trắc nghiệm Bài 3 (có đáp án): Phương trình bậc hai một ẩn
• Lý thuyết Bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai (hay, chi tiết)
• Trắc nghiệm Bài 4 (có đáp án): Công thức nghiệm của phương trình bậc hai
• Lý thuyết Bài 5: Công thức nghiệm thu gọn (hay, chi tiết)
• Trắc nghiệm Bài 5 (có đáp án): Công thức nghiệm thu gọn

---