Nhị thức Niu tơn và cách giải các dạng bài tập (hay, chi tiết)

Bài viết Nhị thức Niu tơn và cách giải các dạng bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa: 

b) Nhận xét:

Trong khai triển Niu tơn (a + b)ⁿ có các tính chất sau

- Gồm có n + 1 số hạng

- Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n

- Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n

- Các hệ số có tính đối xứng: 

- Quan hệ giữa hai hệ số liên tiếp: 

- Số hạng tổng quát thứ k + 1 của khai triển: 

Ví dụ: Số hạng thứ nhất, số hạng thứ k: 

c) Hệ quả:

Ta có : 

Từ khai triển này ta có các kết quả sau

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tìm số hàng chứa x^m trong khai triển

Phương pháp giải:

* Với khai triển (ax^p + bx^q)ⁿ (p, q là các hằng số)

Ta có: 

Số hạng chứa x^m ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m 

Từ đó tìm 

Vậy hệ số của số hạng chứa x^m là:với giá trị k đã tìm được ở trên.

* Với khai triển P(x) = (a + bx^p + cx^q)ⁿ (p, q là các hằng số)

Ta có: 

Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của x^m.

* Chú ý:

- Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa x^m, hệ số phải tìm bằng 0.

- Nếu hỏi hệ số không chứa x tức là tìm hệ số chứa x⁰.

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển đa thức của: x(1 – 2x)⁵ + (1 + 5x)¹⁰ .

Lời giải

Khai triển: 

Khai triển: 

Do đó: 

Cần tìm hệ số của x⁵ trong khai triển thì 

Vậy hệ số của đa thức trong khai triển là: 

Ví dụ 2: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau, biết rằngvới x > 0.

Lời giải

Ta có:(Điều kiện: n ≥ 2, n ∈ ℕ)

 Do đó ta được khai triển: 

Cần tìm hệ số không chứa x trong khai triển nên 36 − 4k = 0 ⇔ k = 9.

Vậy hệ số không chứa x của khai triển là:.

Ví dụ 3: Tìm hệ số của x¹⁵ trong khai triển (1 – x + 2x²)¹⁰.

Lời giải

Ta có khai triển: 

Cần hệ số của x¹⁵ trong khai triển nên 

Trường hợp 1: k = 8; j = 7, ta được 1 hệ số là 

Trường hợp 2: k = 9; j = 6, ta được 1 hệ số là 

Trường hợp 3: k = 10; j = 5, ta được 1 hệ số là 

Vậy hệ số của x¹⁵ trong khai triển là: – 46080 – 53760 – 8064 = – 107904.

Dạng 2. Bài toán tính tổng

Phương pháp giải:

Dựa vào khai triển nhị thức Niu tơn

. 

Ta chọn những giá trị a, b thích hợp thay vào đẳng thức trên.

Một số kết quả ta thường hay sử dụng:

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính tổng

Lời giải

Xét khai triển: 

Chọn x = 1, ta có 

Vậy A = 2²⁰²¹.

Xét khai triển: 

Chọn x = – 3, ta có 

Xét hai khai triển: 

Cộng vế với vế của hai khai triển ta được:

Chọn x = 1, ta có: 

⇔ 2²⁰²¹ = 2C ⇔ C = 2²⁰²⁰

Vậy C = 2²⁰²⁰.

Ví dụ 2: Tìm số n thỏa mãn

Lời giải

Xét khai triển: 

Chọn x = 2, ta có: 

Thay vào phương trình ta có 3ⁿ = 243 = 5⁵ ⇔ n = 5.

Vậy n = 5.

Xét hai khai triển: 

Trừ cả hai vế của khai triển ta có: 

Chọn x = 1, ta có 

Thay vào phương trình được: .

Vậy n = 6.

Ví dụ 3. Cho khai triển (1 – 2x)²⁰ = a₀ +a₁x + a₂x² + … + a₂₀x²⁰. Giá trị của a₀ + a₁ + a₂ + … + a₂₀ bằng:

A. 1                           B. 3²⁰                         C. 0                           D. – 1

Lời giải

Chọn A

Xét khai triển:

Tổng các hệ số của khai triển là

Chọn x = 1, ta có S = (1 – 2.1)²⁰ = (– 1)²⁰ = 1.

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Có bao nhiêu số hạng trong khai triển nhị thức (2x – 3)²⁰²⁰

A. 2021                     B. 2019                     C. 2018                     D. 2020

Câu 2. Hệ số x⁶ trong khai triển (1 – 2x)¹⁰ thành đa thức là:

A. – 13440                B. – 210                    C. 210                       D. 13440

Câu 3. Số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn(x ≠ 0) là

Câu 4. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển nhị thức Niu tơn ,  

Câu 5. Tìm hệ số của số hạng chứa x⁶ trong khai triển x³(1 – x)⁸

A. – 28                      B. 70                         C. – 56                      D. 56

Câu 6. Trong khai triển biểu thức (x + y)²¹ , hệ số của số hạng chứa x¹³y⁸ là:

A. 116280                 B. 293930                 C. 203490                 D. 1287

Câu 7. Hệ số của x⁶ trong khai triển  bằng:

A. 792                       B. 210                       C. 165                       D. 252

Câu 8. Trong khai triển , hệ số của x³, (x > 0) là: 

A. 60                         B. 80                         C. 160.                      D. 240

Câu 9. Tìm hệ số của x⁵ trong khai triển P(x) = (x + 1)⁶ + (x + 1)⁷ + ... + (x + 1)¹²

A. 1715.                    B. 1711.                    C. 1287.                    D. 1716.

Câu 10. Tìm số hạng không chứa x trong khai triển  biết 

A. – 3003                  B. – 5005                  C. 5005                     D. 3003

Câu 11. Tính tổng  

A. S = 2¹⁰                  B. S = 4¹⁰                  C. S = 3¹⁰                  D. S = 3¹¹

Câu 12. Tổng   bằng

A. 4²⁰²¹                      B. 2²⁰²¹ + 1                C. 4²⁰²¹ – 1                D. 2²⁰²¹ – 1 

Câu 13. Số tập con của tập hợp gồm 2022 phần tử là

A. 2022                     B. 2²⁰²²                      C. 2022²                    D. 2.2022

Câu 14. Trong khai triển (x – 2)¹⁰⁰ = a₀ + a₁x¹ + ... + a₁₀₀x¹⁰⁰. Tổng hệ số: a₀ + a₁+ ... + a₁₀₀ là

A. – 1                        B. 1                           C. 3¹⁰⁰                       D. 2¹⁰⁰ 

Câu 15. Tổng   Bằng:

A. 2^n-2                        B. 2^n-1                        C. 2^2n-2                      D. 2^2n-1 

Bảng đáp án

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án, hay khác:

• Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết
• Cách xác định biến cố và tính xác xuất của biến cố
• Tổng hợp Công thức tính xác suất hay nhất
• Phương pháp quy nạp toán học và cách giải bài tập
• Các dạng toán về Dãy số và cách giải