Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết



Bài viết Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

1. Lý thuyết

- Hoán vị của n phần tử: Pn = n! = n(n – 1)(n – 2)…3.2.1.

- Chỉnh hợp chập k của n (0 ≤ k ≤ n):Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 

- Tổ hợp chập của n (0 ≤ k ≤ n):Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 

- Tính chất của tổ hợp: 

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 

2. Phương pháp giải

Sử dụng công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp đưa về các phương trình, bất phương trình đã học và giải quyết. 

3. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải phương trình: 

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Lời giải

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11

Điều kiện:Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Phương trình trên tương đương với:

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11

 ⇔ 2x ( x − 1) = x + 23x

⇔ 2x2 − 2x − 24x = 0

⇔ 2x2 − 26x = 0

⇔ x2 − 13x = 0

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Vậy nghiệm của phương trình là x = 13.

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11

Điều kiện:Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Phương trình trên tương đương với

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Vậy nghiệm của phương trình là: n = 6.

c)Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Điều kiện:Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11

⇔(x − 1)[(x + 1)x + 2(x − 2)(x − 3) − 42] = 0

⇔(x − 1)(x2 + x + 2x2 − 10x + 12 -42 = 0

⇔(x − 1)(3x2  − 9x − 30) = 0

⇔(x − 1).3(x − 5)(x + 2) = 0

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Vậy nghiệm của phương trình là x = 5.

Ví dụ 2: Giải bất phương trình

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11

Lời giải

a) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ ℕ 

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11

⇔n(n − 1)(n − 2) − 15(n − 1) < 0

⇔(n − 1)(n2  − 2n − 15) < 0

⇔(n − 1)(n + 3)(n − 5)< 0

Vì n ≥ 3 nên n – 1 > 0 và n + 3 > 0

⇒ n − 5 < 0  ⇔ n < 5 

Kết hợp với điều kiện, ta có n = 3 và n = 4 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của bất phương trình: n = 3; n = 4.

b) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ ℕ.

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11

⇔n(n − 1)(n − 2) < n(n − 1) + 12

⇔n3 − 3n2 + 2n< n2  − n + 12

⇔n3 − 4n2 + 3n − 12 < 0

⇔(n − 4)(n2 + 3) < 0

⇔n < 4 

Kết hợp với điều kiện, ta có n = 3 thỏa mãn.

Vậy nghiệm của bất phương trình: n = 3.

Ví dụ 3. Một đa giác có số đường chéo gấp đôi số cạnh. Hỏi đa giác đó có bao nhiêu cạnh?

Lời giải

Gọi số đỉnh của đa giác là n. Điều kiện: n ∈ ℕ và n > 3. 

Vậy số cạnh của đa giác cũng là n. 

Số đoạn thẳng có hai đầu mút từ n đỉnh trên làCách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11đoạn thẳng

Do đó số đường chéo của đa giác là Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11− n.

Theo giả thiết, số đường chéo gấp đôi số cạnh nên ta có:

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11− n = 2n

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Vậy đa giác có 7 cạnh.

4. Bài tập tự luyện

Câu 1. Nghiệm của phương trình:Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 là

A. 6                           B. 5                           C. 3                           D. 4

Câu 2. Tập hợp tất cả nghiệm thực của phương trìnhCách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11

A.{-1}                       B. {3}                       C.{-1;3}                    D.{1} 

Câu 3. Nghiệm của phương trìnhCách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 là

A. Một số khác.         B. x = 6                     C. x = 5                     D. x = 4

Câu 4. Tìm tập nghiệm của phương trìnhCách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11  .

A.{0}                        B.{-5; 5}                   C.{5}                        D.{-5; 0; 5}

Câu 5. Cho số tự nhiên n thỏa mãnCách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11. Mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. n chia hết cho 7    B. n chia hết cho 5     C. n chia hết cho 2    D. n chia hết cho 3

Câu 6. Nghiệm của phương trìnhCách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11

A. x = 5                     B. x = 11                   C. x = 11; x = 5        D. x = 10; x = 2 

Câu 7. Tổng của tất cả các số tự nhiên n thỏa mãnCách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11

A. 13                       B. 11                         C. 10                         D. 12

Câu 8. Tính tổng tất cả các số nguyên dương n thỏa mãnCách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 

A. 13                         B. 10                         C. 12                         D. 11

Câu 9. Cho n là số nguyên dương thỏa mãnCách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11. Hệ số của số hạng chứa x9 của khai triển biểu thứcCách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11bằng

A. 18564                   B. 64152                   C. 192456                 D. 194265

Câu 10. Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển nhị thức Niu tơn củaCách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11(x ≠ 0), biết số nguyên dương n thỏa mãnCách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 .

Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 

Câu 11. Nghiệm của bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên)Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 là

A. 0 ≤ n ≤ 2               B. 1 ≤ n ≤ 5                C. 2 ≤ n ≤ 5               D. 2 ≤ n < 4

Câu 12. Nghiệm của bất phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên)Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 là

A. 2 ≤ n ≤ 5               B. 0 ≤ n ≤ 2                C. 1 ≤ n ≤ 5                D. 2 ≤ n < 4

Câu 13. Nghiệm của phương trình (ẩn n thuộc tập số tự nhiên)Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 là

A. n ≥ 2                    B. n ≥ 3                   C. n ≥ 5                    D. n ≥ 4

Câu 14. Nghiệm bất phương trình sau:Cách giải phương trình, bất phương trình tổ hợp hay, chi tiết | Toán lớp 11 là

A. x = 3; x = 4          B. x = 3                     C. x = 2; x = 3; x = 4     D. x = 4

Câu 15. Trên đường thẳng d1 cho 5 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 song song với đường thẳng d1, cho n điểm phân biệt. Biết có tất cả 175 tam giác được tạo thành mà 3 đỉnh lấy từ n + 5 điểm trên. Giá trị của n là

A. 10                         B. 7                           C. 8                           D. 9

Bảng đáp án

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

B

B

C

C

A

B

B

D

C

B

C

D

A

A

B

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án, hay khác:




Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học