Các dạng toán về Dãy số và cách giải (hay, chi tiết)

Bài viết Các dạng toán về Dãy số và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.

1. Lý thuyết

a) Định nghĩa dãy số

- Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên ℕ^∗ được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số). 

Kí hiệu: u : ℕ^∗ → 

      n ↦ u(n)

Dạng khai triển: u₁; u₂; u₃;... ; u_n;... 

Trong đó ta gọi: u₁ là số hạng đầu, u_n= u(n) là số thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số. 

- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3;... ;m} với được gọi là một dãy số hữu hạn. 

Dạng khai triển của nó là u₁; u₂; u₃;... ; u_m , trong đó u₁ là số hạng đầu và u_m là số hạng cuối.

- Ba cách cho một dãy số:

+ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.

+ Cho dãy số bằng phương pháp mô tả.

+ Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.

b) Dãy số tăng, dãy số giảm 

- Dãy số (u_n) được gọi là tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n ∈ ℕ^∗. 

- Dãy số (u_n) được gọi là giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n ∈ ℕ^∗. 

c) Dãy số bị chặn

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho u_n  ≤ M, ∀n ∈ ℕ^∗

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho u_n  ≤ M, ∀n ∈ ℕ^∗. 

- Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m  ≤ u_n  ≤ M, ∀n ∈ ℕ^∗. 

2. Các dạng bài tập

Dạng 1. Tìm số hạng của dãy số

Phương pháp giải:

Bài toán 1: Cho dãy số (u_n): u_n = f(n) (trong đó f(n) là một biểu thức của n). Hãy tìm số hạng u_k. 

→ Thay trực tiếp n = k vào u_k để tìm.

Bài toán 2: Cho dãy số (u_n) cho bởi (với f(u_n) là một biểu thức của u_n). Hãy tìm số hạng u_k. 

→ Tính lần lượt u₂; u₃;... ; u_k bằng cách thế u₁ vào u₂, thế u₂ vào u₃, …, thế u_k-1 vào u_k. 

Bài toán 3: Cho dãy số (u_n) cho bởi . Hãy tìm số hạng u_k. 

→ Tính lần lượt u₃; u₄;... ; u_k bằng cách thế u₁; u₂vào u₃; thế u₂;u₃vào u₄; … ; thế u_{k -2}; u_k-1 vào u_k. 

Bài toán 4: Cho dãy số (u_n) cho bởi . Trong đó f({n; u_n)}) là kí hiệu của biểu thức u_{n + 1}tính theo u_n và n. Hãy tìm số hạng u_k. 

→ Tính lần lượt u₂; u₃;... ; u_k bằng cách thế {1;u₁} vào u₂; thế {2;u₂} vào u₃; … ; thế {k-1;u_k-1} vào u_k. 

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi  . Viết năm số hạng đầu của dãy.

Lời giải

Ta có năm số hạng đầu của dãy

Vậy năm số hạng đầu của dãy là: 

Ví dụ 2: Cho dãy số (u_n) được xác định như sau: . Tìm số hạng u₁₁. 

Lời giải

Chọn D. 

Ta có:

 Ví dụ 3: Cho dãy số (u_n) được xác định như sau: . Tìm số hạng u₈. 

A. u₈ = 3050.            B. u₈ = 5003.             C. u₈ = 3500.            D. u₈ = 3005. 

Lời giải

Chọn D. 

Ta có:

u₃ = 2u₂ + 3u₁ + 5 = 12            

u₄ = 2u₃ + 3u₂ + 5 = 35             

u₅ = 2u₄ + 3u₃ + 5 = 111

u₆ = 2u₅ + 3u₄ + 5 = 332          

u₇ = 2u₆ + 3u₅ + 5 = 1002        

u₈ = 2u₇ + 3u₆ + 5 = 3005

Dạng 2: Xét tính tăng giảm của dãy số

Phương pháp giải 

Cách 1: Xét hiệu u_n+1 – u_n

- Nếu u_n+1 – u_n  > 0 ∀n ∈ ℕ^∗ thì (u_n) là dãy số tăng. 

- Nếu u_n+1 – u_n  < 0 ∀n ∈ ℕ^∗ thì (u_n) là dãy số giảm. 

Cách 2: Khi u_n  > 0 ∀n ∈ ℕ^∗, ta xét tỉ số  

- Nếu >1 thì (u_n) là dãy số tăng. 

- Nếu < 1 thì (u_n) là dãy số giảm. 

Cách 3: Nếu dãy số (u_n) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh u_n+1 > u_n ∀n ∈ ℕ^∗ (hoặc u_n+1 < u_n ∀n ∈ ℕ^∗)

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số 

- Dãy số (u_n) có u_n = an + b tăng khi a > 0 và giảm khi a < 0

- Dãy số (u_n) có u_n = qⁿ

+ Không tăng, không giảm khi q < 0

+ Giảm khi 0 < q < 1

+ Tăng khi q > 1

- Dãy số (u_n) có với điều kiện cn + d > 0 ∀n ∈ ℕ^∗

+ Tăng khi ad – bc > 0

+ Giảm khi ad – bc < 0

- Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm

- Nếu dãy số (u_n) tăng hoặc giảm thì dãy số (qⁿ. u_n) (với q < 0) không tăng, không giảm

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau(∀n ∈ ℕ^∗):

a) u_n = 3n + 6

b)  

c)  

Lời giải

a) Ta có u_n = 3n + 6 ⇒  u_n+1 = 3(n + 1) + 6 = 3n +9

Xét hiệu u_n+1 – u_n= (3n + 9) – (3n + 6) = 3 > 0 ∀n ∈ ℕ^∗

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

b) Ta có 

Xét hiệu 

 (do n là số tự nhiên)

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

c) Ta có  

Vậy (u_n) là dãy số giảm. 

Ví dụ 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau (∀n ∈ ℕ^∗):

Lời giải

a) Ta có  

Xét tỉ số  

Vậy (u_n) là dãy số tăng. 

Ta có:  

Vậy (u_n) là dãy số giảm. 

Vậy (u_n) là dãy số tăng. 

Dạng 3: Xét tính bị chặn của hàm số

Phương pháp giải:

- Cách 1: Dãy số (u_n) có u_n = f(n) là hàm số đơn giản. 

Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức u_n = f(n) ≤ M, ∀n ∈ ℕ^∗ hoặc u_n = f(n) ≥ M, ∀n ∈ ℕ^∗

- Cách 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. 

Nếu dãy số (u_n) được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh

Chú ý: Nếu dãy số (u_n) giảm thì bị chặn trên, dãy số (u_n) tăng thì bị chặn dưới

* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn

Dãy số (u_n) có u_n = qⁿ (|q| ≤ 1) bị chặn

Dãy số (u_n) có u_n = qⁿ (|q| < -1) không bị chặn

Dãy số (u_n) có u_n = qⁿ với q > 1 bị chặn dưới

Dãy số (u_n) có u_n = an + b bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0

Dãy số (u_n) có u_n = an² + bn + c bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0

Dãy số (u_n có u_n = a_mn^m + a_m-1n^m-1 +... + a₁n + a₀ bị chặn dưới nếu a_m > 0 và bị chặn trên nếu a_m < 0

Dãy số (u_n) có  trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P(n) nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Q(n)

Dãy số (u_n) có  trong đó P(n) và Q(n) là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của P(n) lớn hơn bậc của Q(n).

Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Xét tính bị chặn của dãy số sau (với ∀n ∈ ℕ^∗):

Lời giải

a)  

Ta có  

Mặt khác  

Suy ra  

Vậy dãy số (u_n) bị chặn

b) u_n = 3n - 1

Ta có: n ≥ 1 ⇔ 3n ≥ 3 ⇔ 3n – 1 ≥ 2 ⇔ u_n ≥ 2 ∀n ∈ ℕ^∗

Vậy (u_n) bị chặn dưới; không bị chặn trên. 

c)  

Ta có  

Vậy (u_n) bị chặn dưới, không bị chặn trên do bậc của tử cao hơn bậc mẫu.

Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của dãy số sau:

Lời giải

a)  

Ta dự đoán dãy số này bị chặn (dùng máy Casio để tính một vài số hạng). Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp: –2 ≤ u_n ≤ 1, ∀n ∈ ℕ^∗

Với n = 1 ta có –2 ≤ u₁ = 1 ≤1 (đúng)`          

Giả sử mệnh đề trên đúng với : n = k ≥ 1; –2 ≤ u_k ≤1

Ta cần chứng minh mệnh đề trên đúng với n = k + 1

Ta có:  

Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được –2 ≤ u_n ≤1, ∀n ∈ ℕ^∗

Vậy (u_n) bị chặn. 

b)  

Xét  

Suy ra  

Vậy (u_n) bị chặn

3. Bài tập tự luyện

Câu 1. Cho dãy số (u_n) biết . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?

Câu 2. Cho dãy số (u_n) biết  . Viết năm số hạng đầu của dãy số.

Câu 3. Cho dãy số (u_n) xác định bởi khi đó u₅ bằng:

A. 317                       B. 157                       C. 77                         D. 112

Câu 4. Cho dãy số (u_n) xác định bởi   . Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng

A. 0                           B. 93                         C. 9                           D. 34

Câu 5. Cho dãy số (u_n) xác định bởi: . Tìm số hạng u₈. 

A. u₈ = - 1803            B. u₈ = - 5793           C. u₈ = - 18147         D. u₈ = - 537

Câu 6. Cho dãy số (u_n) biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng                                             B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm             D. Cả A, B, C đều sai

Câu 7. Cho dãy số (u_n) biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu 8. Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào giảm?

Câu 9. Trong các dãy số (u_n) cho bởi số hạng tổng quát u_n sau, dãy số nào không tăng, không giảm?

Câu 10. Cho dãy số (u_n) biết. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. Dãy số tăng                                             B. Dãy số giảm

C. Dãy số không tăng, không giảm             D. Có u₁₀ = 2

Câu 11. Trong các dãy số (u_n) sau, dãy số nào bị chặn?

Câu 12. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết:  

A. Tăng, bị chặn trên                                   B. Tăng, bị chặn dưới

C. Giảm, bị chặn                                         D. Cả A, B, C đều sai 

Câu 13. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết: 

A. Tăng, bị chặn trên                                   B. Tăng, bị chặn dưới

C. Giảm, bị chặn                                         D. Cả A, B, C đều sai

Câu 14. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:             

A. Bị chặn                 B. Không bị chặn      C. Bị chặn trên          D. Bị chặn dưới 

Câu 15. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số (u_n), biết: 

A. Dãy số tăng, bị chặn                               B. Dãy số tăng, bị chặn dưới

C. Dãy số giảm, bị chặn trên                       D. Cả A, B, C đều sai     

Đáp án

Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án, hay khác:

• Các dạng toán về Cấp số cộng và cách giải
• Các dạng toán về Cấp số nhân và cách giải
• Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập
• Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập
• Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập