10 Bài tập Công thức tính góc trong không gian (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 12

Trang trước Trang sau

Với 10 bài tập trắc nghiệm Công thức tính góc trong không gian Toán 12 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh lớp 12 ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 12.

I. Nhận biết

Câu 1. Trong hệ tọa độ Oxyz, góc giữa đường thẳng Ox và đường thẳng Oy là

A. $0 ° .$

B. $90 ° .$

C. $45 ° .$

D. $30 ° .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Do trong hệ trục Oxyz, các trục Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau nên góc giữa đường thẳng Ox và đường thẳng Oy là $90 ° .$

Câu 2. Trong hệ tọa độ Oxyz, góc giữa đường thẳng Ox và mặt phẳng (Oxyz) là

A. $0 ° .$

B. $90 ° .$

C. $45 ° .$

D. $30 ° .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\vec{u}}_{O x} = (1; 0; 0); {\vec{n}}_{(O x y)} = (0; 0; 1)$

Suy ra $\sin (O x, (O x y)) = \cos |{\vec{u}}_{O x}, {\vec{n}}_{(O x y)}| = \frac{|1.0 + 0.0 + 0.1|}{\sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}} . \sqrt{0^{2} + 0^{2} + 1^{2}}} = 0.$

Do đó, góc giữa đường thẳng Ox và mặt phẳng $(O x y)$ là $0 ° .$

Câu 3. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1})$ , $\vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó, khẳng định nào sau đây là sai?

A. $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \cos |(\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}})| .$

B. $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{|a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2}|}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}} .$

C. $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{|\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}}|}{|\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}|} .$

D. $(Δ_{1}, Δ_{2}) = (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}})$ hoặc $(Δ_{1}, Δ_{2}) = 180 ° - (\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}) .$

Hiển thị đáp án

Câu 4. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{2} .$ Tính cosin của góc giữa đường thẳng $Δ$ và trục Ox.

A. $\frac{2}{3} .$

B. $- \frac{2}{3} .$

C. $\frac{1}{3} .$

D. 0

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: ${\vec{u}}_{Δ} = (2; - 1; 2)$ và ${\vec{u}}_{O x} = (1; 0; 0)$ .

Suy ra $\cos (Δ, O x) = \cos |(\vec{u_{Δ}}, \vec{u_{O x}})| = \frac{|2.1 + (- 1) .0 + 2.0|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} . \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = \frac{2}{3} .$

Câu 5. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Gọi $φ$ là góc giữa hai đường thẳng $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ .Xét các khẳng định sau:

a) $\cos φ = \frac{|a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2}|}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}} .$

b) $\cos φ = \frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}} .$

c) $Δ_{1} ⊥ Δ_{2} \Leftrightarrow a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2} = 0.$

d) $\sin φ = \frac{a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} + c_{1} c_{2}}{\sqrt{a_{1}^{2} + b_{1}^{2} + c_{1}^{2}} . \sqrt{a_{2}^{2} + b_{2}^{2} + c_{2}^{2}}} .$

Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là

A. 1

B. 0

C. 2

D. 3.

Hiển thị đáp án

II. Thông hiểu

Câu 6. Cho hai đường thẳng . Góc giữa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ là

A. $0 ° .$

B. $90 ° .$

C. $45 ° .$

D. $30 ° .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Ta có: ${\vec{u}}_{Δ_{1}} = (3; 2; 1)$ , ${\vec{u}}_{Δ_{2}} = (- 1; 2; - 1)$

Góc hai đường thẳng là:

$\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = |\cos ({\vec{u}}_{Δ_{1}}, {\vec{u}}_{Δ_{2}})| = \frac{|3. (- 1) + 2.2 + 1. (- 1)|}{\sqrt{3^{2} + 2^{2} + 1^{2}} . \sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}}} = 0.$

Vậy góc giữa $Δ_{1}$ và $Δ_{2}$ là $90 ° .$

Câu 7. Tính góc tạo bởi đường thẳng $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 5}{2} = \frac{z + 1}{- 1}$ và mặt phẳng $(α) : 2 x + y + z - 1 = 0.$

A. $0 ° .$

B. $90 ° .$

C. $45 ° .$

D. $30 ° .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\vec{u}}_{d} = (1; 2; - 1), {\vec{n}}_{(α)} = (2; 1; 1)$

Suy ra $\sin (d, (α)) = \cos |{\vec{u}}_{d}, {\vec{n}}_{(α)}| = \frac{|1.2 + 2.1 + (- 1) .1|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} .$

Góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng đó là $30 ° .$

Câu 8. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 x - y - z - 3 = 0$ và $(Q) : x - z - 2 = 0$ . Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

A. $0 ° .$

B. $90 ° .$

C. $45 ° .$

D. $30 ° .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: D

Ta có: ${\vec{n}}_{(P)} = (2; - 1; - 1), {\vec{n}}_{(Q)} = (1; 0; - 1)$

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

$\cos ((P), (Q)) = \cos |{\vec{u}}_{(P)}, {\vec{n}}_{(Q)}|$

$= \frac{|1.2 + 0. (- 1) + (- 1) . (- 1)|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + {(- 1)}^{2}} . \sqrt{1^{2} + 0^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{3}{2 \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$

Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng $30 ° .$

Câu 9. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm $M (1; 0; 0), N (0; 1; 0)$ và $P (0; 0; 1)$ . Cosin của góc giữa hai mặt phẳng $(M N P)$ và $(O x y)$ bằng

A. $\frac{1}{\sqrt{3}} .$

B. $\frac{1}{\sqrt{5}} .$

C. $\frac{2}{\sqrt{5}} .$

D. $\frac{1}{3} .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\vec{M N} = (- 1; 1; 0), \vec{M P} = (- 1; 0; 1),$ ${\vec{n}}_{(O x y)} = (0; 0; 1)$

Suy ra ${\vec{n}}_{(M N P)} = [\vec{M N}, \vec{M P}] = (|\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 0 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix}|; |\begin{matrix} - 1 & 1 \\ - 1 & 0 \end{matrix}|) = (1; 1; 1) .$

Suy ra $\cos ((M N P), (O x y)) = |\cos ({\vec{n}}_{(O x y)}, {\vec{n}}_{(M N P)})| = \frac{1}{\sqrt{3}} .$

III. Vận dụng

Câu 10. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 3 x + 4 y + 5 z + 2 = 0$ và đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(α) : x - 2 y + 1 = 0$ và $(β) : x - 2 y - 3 z = 0$ . Hãy tính số đo góc $α$ giữa d và (P)

A. $60 ° .$

B. $90 ° .$

C. $45 ° .$

D. $30 ° .$

Hiển thị đáp án

Đáp án đúng là: B

Vì d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(α)$ và $(β)$ nên ${\vec{u}}_{d} = [{\vec{n}}_{(α)}, {\vec{n}}_{(β)}]$

Ta có: ${\vec{n}}_{(α)} = (1; - 2; 0), {\vec{n}}_{(β)} = (1; - 2; - 3)$

Suy ra ${\vec{u}}_{d} = [{\vec{n}}_{(α)}, {\vec{n}}_{(β)}] = (|\begin{matrix} - 2 & 0 \\ - 2 & - 3 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 0 & 1 \\ - 3 & - 2 \end{matrix}|; |\begin{matrix} 1 & - 2 \\ - 2 & - 2 \end{matrix}|) =$ $(6; 3; - 6) = 3 (2; 1; - 2) .$

Lấy ${\vec{u}}_{d} = (2; 1; - 2)$ , ${\vec{n}}_{(P)} = (3; 4; 5)$

Ta có: $\sin (d, (P)) = \cos |{\vec{u}}_{d}, {\vec{n}}_{(P)}| = \frac{|2.3 + 1.4 + (- 2) .5|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}} . \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 5^{2}}} = 0.$

Vậy số đo góc $α$ giữa d và (P) là $90 ° .$

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 12 Kết nối tri thức có đáp án hay khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 12 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 12 Kết nối tri thức khác