Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 9 Kết nối tri thức

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 9: Đạo hàm sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết với bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Chương 9.

Lý thuyết tổng hợp Toán 11 Chương 9

1. Một số bài toán dẫn đến khái niệm đạo hàm

Bài toán 1. Vận tốc tức thời của một vật chuyển động thẳng

Một vật di chuyển trên một đường thẳng. Quãng đường s của chuyển động là một hàm số của thời gian t, s = s(t) (được gọi là phương trình của chuyển động).

 

Vận tốc trung bình của vật trong khoảng thời gian từ t₀ đến t là  $\frac{s\left(t\right)-s\left(t_0\right)}{t-t_0}$.

Bài toán 2. Cường độ tức thời

Điện lượng Q truyền trong dây dẫn là một hàm số của thời gian t, có dạng Q = Q(t).

Cường độ trung bình của dòng điện trong khoảng thời gian từ t₀ đến t là  $\frac{Q\left(t\right)-Q\left(t_0\right)}{t-t_0}$

Nhận xét. Nhiều bài toán trong Vật lí, Hoá học, Sinh học, ... đưa đến Víệc tìm giới hạn dạng

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

ở đó y = f(x) là một hàm số đã cho.

Giới hạn trên dẫn đến một khái niệm quan trọng trong Toán học, đó là khái niệm đạo hàm.

2. Đạo hàm của hàm số tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm  $x_0\in (a;b)$

Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn

$\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀, kí hiệu bởi  $f^{\text{'}}\left(x_0\right)$ (hoặc  $y^{\text{'}}\left(x_0\right)$, tức là

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

Chú ý. Để tính đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm  $x_0\in (a;b)$, ta thực hiện theo các bước sau:

1. Tính $f\left(x\right)-f\left(x_0\right)$

2. Lập và rút gọn tỉ số  $\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ với $x\in (a;b),x\ne x_0$

3. Tìm giới hạn  $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$

3. Đạo hàm của hàm số trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là có đạo hàm trên khoảng (a; b) nếu nó có đạo hàm  $f^{\text{'}}\left(x\right)$ tại mọi điểm x thuộc khoảng đó, kí hiệu là  $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$

Lưu ý:  $(c{)}^{\text{'}}=0;(x{)}^{\text{'}}=1;{\left(c{x}^2\right)}^{\text{'}}=2cx$

Chú ý. Nếu phương trình chuyển động của vật là s = f(t) thì  $v\left(t\right)=f^{\text{'}}\left(t\right)$ là vận tốc tức thời của vật tại thời điểm t.

4. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

4.1. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Chú ý: Hệ số góc của đường thẳng đi qua hai điểm  $\left(x_1;y_1\right)$và  $\left(x_2;y_2\right)$, với  $x_1\ne x_2$, là  $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm  $P\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ là đường thẳng đi qua P với hệ số góc  $k=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ nếu giới hạn này tồn tại và hữu hạn, nghĩa là $k=f^{\text{'}}\left(x_0\right)$. Điểm P gọi là tiếp điểm.

Nhận xét. Hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm  $P\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$ là đạo hàm  $f^{\text{'}}\left(x_0\right)$.

4.2. Phương trình tiếp tuyến

Từ ý nghĩa hình học của đạo hàm, ta rút ra kết luận sau:

Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm tại điểm x₀ thì phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm  $P\left(x_0;y_0\right)$ là  $y-y_0=f^{\text{'}}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)$, trong đó  $y_0=f\left(x_0\right)$.

5. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

5.1. Đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ^*)

Hàm số  $y=x^n\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ có đạo hàm trên $ℝ$ và   ${\left(x^n\right)}^{\text{'}}=n{x}^{n-1}$

5.2. Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$

Hàm số $y=\sqrt{x}$ có đạo hàm trên khoảng  $y=\sqrt{x}$và  ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

6. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Khi đó

 

Chú ý

• Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho tổng, hiệu của hai hay nhiều hàm số.

• Với k là một hằng số, ta có:  $(ku{)}^{\text{'}}=k{u}^{\text{'}}$

• Đạo hàm của hàm số nghịch đảo:  ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\text{'}}=-\frac{v^{\text{'}}}{v^2}(v=v(x)\ne 0)$

7. Đạo hàm của hàm số hợp

7.1. Khái niệm hàm số hợp

Giả sử u = g(x) là hàm số xác định trên khoảng (a; b), có tập giá trị chứa trong khoảng (c; d) và y = f(u) là hàm số xác định trên khoảng (c; d). Hàm số y = f(g(x)) được gọi là hàm số hợp của hàm số y = f(u) với u = g(x).

 

7.2. Đạo hàm của hàm số hợp

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm  ${u^{\text{'}}}_x$ tại x và hàm số y = f(u) có đạo hàm  ${y^{\text{'}}}_u$ tại u thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm ${y^{\text{'}}}_x$ tại x là

 ${y^{\text{'}}}_x={y^{\text{'}}}_u\cdot {u^{\text{'}}}_x.$

8. Đạo hàm của hàm số lượng giác

8.1. Đạo hàm của hàm số y = sin x

• Hàm số y = sin x có đạo hàm trên  $ℝ$ và  $(\sin x{)}^{\text{'}}=\cos x$

• Đối với hàm số hợp y = sin u, với u = u(x), ta có:  $(\sin u{)}^{\text{'}}=u^{\text{'}}\cdot \cos u$

8.2. Đạo hàm của hàm số y = cos x

• Hàm số y = cos x có đạo hàm trên  $ℝ$ và  $(\cos x{)}^{\text{'}}=-\sin x$

• Đối với hàm số hợp y = cos u, với u = u(x), ta có:  $(\cos u{)}^{\text{'}}=-u^{\text{'}}\cdot \sin u$

8.3. Đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

• Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi  $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ và  $(\tan x{)}^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

• Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi  $x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$ và  $(\cot x{)}^{\text{'}}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

• Đối với các hàm số hợp y = tan u và y = cot u, với u = u(x), ta có

 $(\tan u{)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{{\cos }^{2}u};(\cot u{)}^{\text{'}}=-\frac{u^{\text{'}}}{{\sin }^{2}u}$   (giả thiết tan u và cot u có nghĩa).

9. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit

9.1. Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chú ý:

•  $\underset{t\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t=e$

•  $\underset{t\to -\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t=e$

Nhận xét. Ta có các giới hạn sau:

$\underset{x\to 0}{\lim }{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e;\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1;\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1.$

9.2. Đạo hàm của hàm số mũ

• Hàm số $y=e^x$ có đạo hàm trên  $ℝ$ và  ${\left(e^x\right)}^{\text{'}}=e^x$

Đối với hàm số hợp  $y=e^u$, với u = u(x), ta có:  ${\left(e^u\right)}^{\text{'}}=e^u\cdot u^{\text{'}}$

• Hàm số  $y=a^x(0<a\ne 1)$ có đạo hàm trên  $ℝ$ và  ${\left(a^x\right)}^{\text{'}}=a^x\ln a$

Đối với hàm số hợp  $y=a^u$, với u = u(x), ta có:  ${\left(a^u\right)}^{\text{'}}=a^u\cdot u^{\text{'}}\cdot \ln a$

9.3. Đạo hàm của hàm số lôgarit

• Hàm số y = ln x có đạo hàm trên khoảng  $(0;+\infty )$ và  $(\ln x{)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}$

Đối với hàm số hợp y = ln u, với u = u(x), ta có:  $(\ln u{)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{u}$

• Hàm số $y={\log }_{a}x$ có đạo hàm trên khoảng $(0;+\infty )$ và ${\left({\log }_{a}x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln a}$

Đối với hàm số hợp  $y={\log }_{a}u$, với u = u(x), ta có:  ${\left({\log }_{a}u\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{u\ln a}$

Chú ý. Với x < 0, ta có:  $\ln \left|x\right|=\ln (-x)$ và  $\left[\ln \right(-x){]}^{\text{'}}=\frac{(-x{)}^{\text{'}}}{-x}=\frac{1}{x}$. Từ đó ta có:

 $\left(\ln \right|x|{)}^{\text{'}}=\frac{1}{x},\forall x\ne 0$

10. Khái niệm đạo hàm cấp hai

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm  $x\in (a;b)$. Nếu hàm số  $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$ lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y" hoặc  f''(x)

11. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Một chuyển động có phương trình s = f(t) thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động. Ta có:

$a\left(t\right)={f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right).$

Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 9

Bài 1. Dùng định nghĩa để tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $f\left(x\right)=x^2+\sqrt{x}$

b)  $f\left(x\right)=\frac{x}{x-1}$với  $x\ne 1$

Hướng dẫn giải

a) Với bất kì  $x_0>0$, ta có:

 

Bài 2. Chứng minh rằng hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.

Hướng dẫn giải

+ Với x > 2, ta có: f(x) = |x – 2| = x – 2.

Đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x > 2 là 1.

+ Với x < 2, ta có: f(x) = |x – 2| = 2 – x.

Đạo hàm của hàm số f(x) = |x – 2| tại điểm x < 2 là –1.

+ Ta có f(x) – f(2) = |x – 2| – |2 – 2| = |x – 2|.

Với x ≠ 2, ta có  $\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}=\frac{|x-2|}{x-2}$

 

Do đó, không tồn tại  $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(2\right)}{x-2}$

Vậy hàm số f(x) = |x – 2| không có đạo hàm tại điểm x₀ = 2, nhưng có đạo hàm tại mọi điểm x ≠ 2.

Bài 3.Một viên đạn được bắn lên cao theo phương trình  $s\left(t\right)=196t-4,9t^2$ trong đó t>0,t tính bằng giây kể từ thời điểm viên đạn được bắn lên cao và s(t) là khoảng cách của viên đạn so với mặt đất được tính bằng mét. Tại thời điểm vận tốc của viên đạn bằng 0 thì viên đạn cách mặt đất bao nhiêu mét?

Hướng dẫn giải

Ta tính được $s^{\text{'}}\left(t\right)=196-9,8t.$

Vận tốc của viên đạn

Khi đó viên đạn cách mặt đất một khoảng $h=s\left(20\right)=196\cdot 20-4,9\cdot {20}^2=1960(\text{m)}.$

Bài 4. Cho hàm số  $y=\frac{8}{x},x\ne 0$

a) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm  $x_0\ne 0$

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ  $x_0=2$

Hướng dẫn giải

a) Với  $x_0\ne 0$ bất kì, ta có:

 

b) Với  $x_0=2$ ta có  $y_0=4$ và  $y^{\text{'}}\left(2\right)=-2$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ  $x_0=2$ là:

y - 4= - 2(x-2) = -2x + 4 hay y =-2x + 8

Bài 5. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y={\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)}^2;$                                b)  $y={\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2.$

Hướng dẫn giải

Bài 6. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y=\frac{1-\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$ với x>0 ;

b)  $y=\left(1+x-2x^2\right)\left(2-x^2+\frac{x^3}{3}\right)$.

Hướng dẫn giải

 

Bài 7. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y=\left(\sin x+2\cos x\right)\left(\sin x-2\cos x+1\right)$

b)  $y=\frac{\tan x-1}{\cot x+2}$

Hướng dẫn giải

Bài 8. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y=\frac{2^x+1}{2^x-1}$

b)  $y=\left(3\ln x+2\right)\left(2{\log }_{3}x-5\right)$

Hướng dẫn giải

 

Bài 9. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm $x_0=\frac{\pi }{4}$

a)  $f\left(x\right)=2\sin x$

b)  $g\left(x\right)=\cot \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

Hướng dẫn giải

a)  $f^{\text{'}}\left(x\right)=2(\sin x{)}^{\text{'}}=2\cos x$

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm  $x_0=\frac{\pi }{4}$ là: $f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{4}\right)=2\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$

 

Bài 10. Một chất điểm chuyển động theo phương trình  $s\left(t\right)=6\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$, trong đó  t>0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm  $t=\frac{\pi }{6}\left(s\right)$

Hướng dẫn giải

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t (s) là:  $v\left(t\right)=s^{\text{'}}\left(t\right)=18\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$

Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm  $t=\frac{\pi }{6}\left(s\right)$ là:

 $v\left(\frac{\pi }{6}\right)=18\cos \left(3\cdot \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}\right)=-9\sqrt{2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm/s)}.$

Bài 11. Cho hàm số $f\left(x\right)=x^2+2x-1$

a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.

b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm $x_0=0,x_0=1$

Hướng dẫn giải

a) Ta có  $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x+2$ và  ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=(2x+2{)}^{\text{'}}=2$

b) Vì  ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=2$ nên  ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(0\right)={f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(1\right)=2$

Bài 12. Cho hàm số $f\left(x\right)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$. Tính  ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(0\right)$

Hướng dẫn giải

 

Thay x = 0 vào biểu thức  ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)$ta được  ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(0\right)=0$

Bài 13. Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{1}{3x+5}$

b)  $g\left(x\right)=2^{x+3x^2}$

Hướng dẫn giải

Bài 14.Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình  $s=100+2t-t^2$ trong đó thời gian t được tính bằng giây và s được tính bằng mét.

a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0?

b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3 s.

Hướng dẫn giải

a)  $v\left(t\right)=s^{\text{'}}\left(t\right)=2-2t$.Ta có  $v\left(t\right)=0\iff 2-2t=0\iff t=1$

Vận tốc của chất điểm bằng 0 khi t = 1 s.

b) Khi t = 3 s, ta có  $v\left(3\right)=2-2\cdot 3=-4\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m/s)}$

Ta có  $a\left(t\right)={s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right)=(2-2t{)}^{\text{'}}=-2$  nên  $a\left(3\right)=-2{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m/s}}^{\text{2}}\text{)}$

Vậy khi t = 3 s thì vận tốc của vật là –4 m/s. Gia tốc của vật là –2 m/s².

Bài 15. Một chất điểm có phương trình chuyển động  $s\left(t\right)=3\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right)$, trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm  $t=\frac{\pi }{2}\left(s\right)$

Hướng dẫn giải

Ta có   $s^{\text{'}}\left(t\right)=3\cos \left(t+\frac{\pi }{3}\right);{s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right)=-3\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right)$

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm  $t=\frac{\pi }{2}$ (s) là:

 ${s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{2}\right)=-3\sin \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{-3}{2}{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm/s}}^{\text{2}}\text{)}.$

Học tốt Toán 11 Chương 9

Các bài học để học tốt Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 9 Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài tập cuối chương 9

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

• Lý thuyết Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8

• Lý thuyết Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

• Lý thuyết Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

• Lý thuyết Bài 33: Đạo hàm cấp hai

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---