Đạo hàm cấp hai lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Lý thuyết Đạo hàm cấp hai

1. Khái niệm đạo hàm cấp hai

Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm tại mỗi điểm  $x\in (a;b)$. Nếu hàm số  $y^{\text{'}}=f^{\text{'}}\left(x\right)$ lại có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số y = f(x) tại x, kí hiệu là y" hoặc  f''(x)

Ví dụ 1. Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:

a)  $y=\sqrt{2}\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{3}\right)$

b)  $y=x^2{e}^{-x}$

Hướng dẫn giải

 

2. Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Ý nghĩa cơ học của đạo hàm cấp hai

Một chuyển động có phương trình s = f(t) thì đạo hàm cấp hai (nếu có) của hàm số f(t) là gia tốc tức thời của chuyển động. Ta có:

 $a\left(t\right)={f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right).$

Ví dụ 2. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình  $s\left(t\right)=-2t^2+15t+3$, trong đó s tính bằng mét và t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2.

Hướng dẫn giải

Ta có  $s^{\text{'}}\left(t\right)=-2\cdot 2t+15=-4t+15$, suy ra  ${s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right)=-4$

Vận tốc và gia tốc của chuyển động tại thời điểm t = 2 lần lượt là:

 $v\left(2\right)=s^{\text{'}}\left(2\right)=-4\cdot 2+15=7 \text{\hspace{0.17em}(m/s)}$ và  $a\left(2\right)={s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(2\right)=-4 {\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m/s}}^{\text{2}}\text{)}$

Bài tập Đạo hàm cấp hai

Bài 1. Cho hàm số  $f\left(x\right)=x^2+2x-1$.

a) Tìm đạo hàm cấp hai của hàm số.

b) Tính đạo hàm cấp hai của hàm số tại điểm  $x_0=0,x_0=1$

Hướng dẫn giải

a) Ta có  $f^{\text{'}}\left(x\right)=2x+2$ và  ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=(2x+2{)}^{\text{'}}=2$

b) Vì  ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)=2$ nên  ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(0\right)={f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(1\right)=2$

Bài 2. Cho hàm số $f\left(x\right)=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)$. Tính  ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(0\right)$

Hướng dẫn giải

Thay x = 0 vào biểu thức  ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(x\right)$ta được  ${f^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(0\right)=0$

Bài 3. Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right)=\frac{1}{3x+5}$

b)  $g\left(x\right)=2^{x+3x^2}$

Hướng dẫn giải

 

Bài 4. Một chất điểm chuyển động thẳng có phương trình  $s=100+2t-t^2$ trong đó thời gian t được tính bằng giây và s được tính bằng mét.

a) Tại thời điểm nào chất điểm có vận tốc bằng 0?

b) Tìm vận tốc và gia tốc của chất điểm tại thời điểm t = 3 s.

Hướng dẫn giải

a)  $v\left(t\right)=s^{\text{'}}\left(t\right)=2-2t$. Ta có  $v\left(t\right)=0\iff 2-2t=0\iff t=1$

Vận tốc của chất điểm bằng 0 khi t = 1 s.

b) Khi t = 3 s, ta có  $v\left(3\right)=2-2\cdot 3=-4\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m/s)}$

Ta có  $a\left(t\right)={s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right)=(2-2t{)}^{\text{'}}=-2$ nên $a\left(3\right)=-2{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(m/s}}^{\text{2}}\text{)}$

Vậy khi t = 3 s thì vận tốc của vật là –4 m/s. Gia tốc của vật là –2 m/s².

Bài 5. Một chất điểm có phương trình chuyển động  $s\left(t\right)=3\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right)$, trong đó t > 0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimét. Tính gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm  $t=\frac{\pi }{2}( s)$

Hướng dẫn giải

Ta có   $s^{\text{'}}\left(t\right)=3\cos \left(t+\frac{\pi }{3}\right);{s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(t\right)=-3\sin \left(t+\frac{\pi }{3}\right)$

Gia tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm  $t=\frac{\pi }{2}$ (s) là:

 ${s^{\text{'}}}^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{2}\right)=-3\sin \left(\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{-3}{2}{\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm/s}}^{\text{2}}\text{)}.$

 

 

Học tốt Đạo hàm cấp hai

Các bài học để học tốt Đạo hàm cấp hai Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

• Lý thuyết Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8

• Lý thuyết Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

• Lý thuyết Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 9

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---