Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Lý thuyết Hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b) chứa điểm x₀. Hàm số f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = f(x₀).

Hàm số f(x) không liên tục tại x₀ được gọi là gián đoạn tại điểm đó.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số g(x) = $\frac{2x+1}{2x-1}$ tại điểm x₀ = 1.

Hướng dẫn giải

Ta thấy hàm số g(x) xác định trên ℝ \ , do đó x₀ = 1 thuộc tập xác định của hàm số.

Ta có: g(1) = $\frac{2.1+1}{2.1-1}$= 3

$\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{2x+1}{2x-1}$ = 3 = g(1).

Vậy hàm số g(x) liên tục tại x₀ = 1.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng này.

- Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu nó liên tục trên khoảng (a; b) và $\underset{x\to a^{+}}{\lim }$f(x) = f(a), $\underset{x\to b^{-}}{\lim }$f(x) = f(b).

- Các khái niệm hàm số liên tục trên nửa khoảng như (a; b], [a; +∞),… được định nghĩa theo cách tương tự. Có thể thấy đồ thị của hàm số liên tục trên một khoảng là một đường liền trên khoảng đó.

- Về tính liên tục của các hàm số sơ cấp cơ bản đã biết, ta có:

+ Hàm số đa thức và các hàm số y = sin x, y = cos x liên tục trên ℝ.

+ Các hàm số y = tan x, y = cot x, y = $\sqrt{x}$ và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng.

Ví dụ: Cho hàm số f(x) = $\frac{x+2}{x-2}$. Tìm các khoảng trên đó hàm số f(x) liên tục.

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số f(x) là (–∞; 2) ∪ (2; +∞). Vậy hàm số f(x) liên tục trên các khoảng (–∞; 2) và (2; +∞).

3. Một số tính chất cơ bản

Giả sử hai hàm số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

a) Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x) và y = f(x) . g(x) liên tục tại x₀;

b) Hàm số y = liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số f(x) = $\frac{\cos x}{3-x}$.

Hướng dẫn giải:

Hàm số đã cho xác định trên các khoảng (–∞; 3) và (3; +∞). Trên các khoảng này, tử thức (hàm lượng giác) và mẫu thức (hàm đa thức) là các hàm số liên tục. Do đó, hàm số f(x) liên tục trên ℝ \{3}.

Nhận xét: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a) . f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c ∈ (a; b) sao cho f(c) = 0.

Ví dụ: Phương trình 2x³ – 6x + 1 = 0 có ít nhất bao nhiêu nghiệm thực thuộc khoảng (–2; 2) ?

Hướng dẫn giải

Vì hàm số f(x) = 2x³ – 6x + 1 liên tục trên ℝ nên nó liên tục trên đoạn[– 2; 2].

Ta có: f(–2) = –3 ; f(2) = 5 ; f(0) = 1 ; f(1) = – 3.

Ta thấy:

+) f(– 2). f(0) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (–2; 0).

+) f(0) . f(1) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (0; 1).

+) f(1) . f(2) < 0 nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng (1; 2).

Do đó phương trình: 2x³ – 6x + 1 = 0 có ít nhất 3 nghiệm thực thuộc khoảng (– 2; 2).

Bài tập Hàm số liên tục

Bài 1: Cho hàm số f(x) = . Tìm giá trị của m để f(x) liên tục trên [0; +∞).

Hướng dẫn giải

+) Với x ∈ (0; 9): f(x) = $\frac{3-\sqrt{9-x}}{x}$ liên tục trên (0; 9).

+) Với x ∈ [9; +∞) thì f(x) = $\frac{3}{x}$ liên tục trên [9; +∞).

+) Tại x = 0 ta có f(0) = m

Vậy để hàm số liên tục trên [0; +∞) khi nó phải liên tục tại x = 0.

Suy ra: $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$f(x) = m$\Rightarrow$m = $\frac{1}{6}$.

Vậy m = $\frac{1}{6}$ thì f(x) liên tục trên [0; +∞).

Bài 2: Cho hàm số f(x) = . Xét tính liên tục của hàm số tại x = 0.

Hướng dẫn giải

Ta có: f(0) = 0

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$(x²+1) = 1

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }$x = 0

Vậy f(x) gián đoạn tại x = 0.

Bài 3: Cho f(x) và g(x) là các hàm số liên tục tại x = 1. Biết f(1) = 3 và $\underset{x\to 1}{\lim }$[2f(x)-g(x)] = 4. Tính g(1).

Hướng dẫn giải

Vì hàm số f(x) liên tục tại x = 1 nên hàm số 2f(x) cũng liên tục tại x = 1.

Mà hàm số g(x) liên tục tại x = 1. Do đó, hàm số y = 2f(x) – g(x) liên tục tại x = 1.

Suy ra: $\underset{x\to 1}{\lim }$[2f(x)-g(x)] = 2f(1) – g(1) = 4

Mà f(1) = 3 nên ta có: 2 . 3 – g(1) = 4, suy ra g(1) = 2.

Vậy g(1) = 2.

Học tốt Hàm số liên tục

Các bài học để học tốt Hàm số liên tục Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 17: Hàm số liên tục

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 hay khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 14: Phép chiếu song song

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 4

• Lý thuyết Toán 11 Bài 15: Giới hạn của dãy số

• Lý thuyết Toán 11 Bài 16: Giới hạn của hàm số

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 5

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---