Công thức lượng giác (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Lý thuyết Công thức lượng giác

1. Công thức cộng

cos (a – b) = cosa cosb + sina sinb

cos (a + b) = cosa cosb – sina sinb

sin (a – b) = sina cosb – cosa sinb

sin (a + b) = sina cosb + cosa sinb

tan (a-b) = $\frac{\tan a-\tan b}{1+\tan a\tan b}$

tan (a+b) = $\frac{\tan a+\tan b}{1-\tan a\tan b}$

(giả thiết các biểu thức đều có nghĩa).

Ví dụ: Không dùng máy tính, hãy tính sin và tan 15°.

Hướng dẫn giải

Ta có

sin = -sin$\frac{7\pi }{6}$ = -sin

= -sin$\pi$cos$\frac{\pi }{6}$ - cos$\pi$sin$\frac{\pi }{6}$ = -0.$\frac{\sqrt{3}}{2}$ - (-1).$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$.

Ta có

tan15^o = tan(60^o - 45^o) = $\frac{\tan 60°-\tan 45°}{1+\tan 60°.\tan 45°}$

$=\frac{\sqrt{3}-1}{1+\sqrt{3}.1}=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}=2-\sqrt{3}$

2. Công thức nhân đôi

sin2a = 2sina cosa

cos2a = cos²a – sin²a = 2cos² – 1 = 1 – 2sin²a

tan2a = $\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$.

Chú ý: Từ công thức nhân đôi suy ra công thức hạ bậc:

${\cos }^{2}a=\frac{1+\cos 2a}{2}$

${\sin }^{2}a=\frac{1-\cos 2a}{2}$.

Ví dụ: Biết sinα = $\frac{2}{5}$ và 0 < α < $\frac{\pi }{2}$ . Tính sin2α ; cos2α và tan2α.

Hướng dẫn giải

Vì 0 < α < $\frac{\pi }{2}$ nên cosα > 0.

Ta có:

sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 – sin²α = 1-= $\frac{21}{25}$

⇒ cosα = $\frac{\sqrt{21}}{5}$.

Ta có: sin2α = 2sinα cosα = $2.\frac{2}{5}.\frac{\sqrt{21}}{5}=\frac{4\sqrt{21}}{25}$

cos2α = 1 – 2sin²α = 1 - 2.= $\frac{17}{25}$

$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{2\sqrt{21}}{21}$

⇒ tan$2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=$$=\frac{4\sqrt{21}}{17}$.

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

cosacosb = $\frac{1}{2}$[cos(a-b) + cos(a+b)]

sinasinb = $\frac{1}{2}$[cos(a-b) - cos(a+b)]

sinacosb = $\frac{1}{2}$[sin(a-b) + sin(a+b)].

Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức

a) A = $\sin \frac{7\pi }{12}\cos \frac{5\pi }{12}$;

b) B = $\sin \frac{\pi }{12}\sin \frac{7\pi }{12}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

Vậy A = $\frac{1}{4}$.

b) Ta có:

Vậy B = $\frac{1}{4}$ .

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

cosu + cosv = 2cos$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$

cosu - cosv = -2sin$\frac{u+v}{2}$sin$\frac{u-v}{2}$

sinu + sinv = 2sin$\frac{u+v}{2}$cos$\frac{u-v}{2}$

sinu - sinv = 2cos$\frac{u+v}{2}$sin$\frac{u-v}{2}$.

Ví dụ: ChoA = cos$\frac{\pi }{17}$.cos$\frac{4\pi }{17}$ và B = cos$\frac{3\pi }{17}$ + cos$\frac{5\pi }{17}$. Không dùng máy tính, tính giá trị của biểu thức $\frac{A}{B}$.

Hướng dẫn giải

Ta có:

B = cos$\frac{3\pi }{17}$ + cos$\frac{5\pi }{17}$ = 2.cos$\frac{\frac{3\pi }{17}+\frac{5\pi }{17}}{2}$.cos$\frac{\frac{3\pi }{17}-\frac{5\pi }{17}}{2}$

= 2.cos$\frac{4\pi }{17}$.cos = 2cos$\frac{4\pi }{17}$.cos$\frac{\pi }{17}$.

Suy ra $\frac{A}{B}=\frac{\cos \frac{\pi }{17}.\cos \frac{4\pi }{17}}{\cos \frac{3\pi }{17}+\cos \frac{5\pi }{17}}=\frac{\cos \frac{\pi }{17}.\cos \frac{4\pi }{17}}{2\cos \frac{4\pi }{17}.\cos \frac{\pi }{17}}=\frac{1}{2}$ .

Bài tập Công thức lượng giác

Bài 1. Tính sin2a và tan2a biết cos a = $\frac{1}{4}$ và $\frac{3\pi }{2}$π.

Hướng dẫn giải

Vì $\frac{3\pi }{2}$πnên sina < 0.

Ta có:

sin²a + cos²a = 1 ⇒ sin²a = 1 – cos²a = 1 - = $\frac{15}{16}$

⇒ sina = $-\frac{\sqrt{15}}{4}$.

Ta có: sin2a = 2sina cosa = 2..$\frac{1}{4}$ = $-\frac{\sqrt{15}}{8}$

Ta có: tana = $\frac{\sin a}{\cos a}=-\sqrt{15}$

⇒$\tan 2a=\frac{2\tan a}{1-{\tan }^{2}a}$==$=\frac{-2\sqrt{15}}{-14}=\frac{\sqrt{15}}{7}$.

Bài 2. Tính

a) sin biết sin a = $\frac{3}{4}$ và 0 < a < $\frac{\pi }{2}$;

b) cos$\frac{3\pi }{8}$.cos$\frac{\pi }{8}$ + sin$\frac{3\pi }{8}$.sin$\frac{\pi }{8}$.

Hướng dẫn giải

a) Vì 0π2 nên cosa > 0.

Ta có: sin²a + cos²a = 1 ⇒ cos²a = 1 – sin²a = 1-=$\frac{7}{16}$

⇒ cosa = $\frac{\sqrt{7}}{4}$.

Vậy sin$=\sin a\cos \frac{\pi }{3}-\cos a\sin \frac{\pi }{3}=\frac{3}{4}.\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{7}}{4}.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3-\sqrt{21}}{8}$ .

Suy ra: $\cos \frac{3\pi }{8}.\cos \frac{\pi }{8}+\sin \frac{3\pi }{8}.\sin \frac{\pi }{8}=\frac{\sqrt{2}}{4}+\frac{\sqrt{2}}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.

Bài 3. Tính

a) cos(–15°) + cos255°;

b) sin$\frac{13\pi }{24}$sin$\frac{5\pi }{24}$.

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

cos(-15^o) + cos255^o = 2.cos$\frac{-15°+255°}{2}$.cos$\frac{-15°-255°}{2}$

= 2.cos120^o.cos(135^o) = 2

Vậy cos(–15°) + cos255° = $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

b) Ta có:

Vậy $\sin \frac{13\pi }{24}\sin \frac{5\pi }{24}=\frac{1+\sqrt{2}}{4}$.

Học tốt Công thức lượng giác

Các bài học để học tốt Công thức lượng giác Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 2: Công thức lượng giác

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 hay khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác

• Lý thuyết Toán 11 Bài 4: Phương trình lượng giác cơ bản

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 1

• Lý thuyết Toán 11 Bài 5: Dãy số

• Lý thuyết Toán 11 Bài 6: Cấp số cộng

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---