Các quy tắc tính đạo hàm lớp 11 (Lý thuyết Toán 11 Kết nối tri thức)

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Lý thuyết Các quy tắc tính đạo hàm

1. Đạo hàm của một số hàm số thường gặp

1.1. Đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ^*)

Hàm số  $y=x^n\left(n\in {\mathbb{N}}^{*}\right)$ có đạo hàm trên $\mathrm{ℝ}$ và   ${\left(x^n\right)}^{\text{'}}=n{x}^{n-1}$

1.2. Đạo hàm của hàm số y = $\sqrt{x}$

Hàm số $y=\sqrt{x}$ có đạo hàm trên khoảng $y=\sqrt{x}$ và ${\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

2. Đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử các hàm số u = u(x), v = v(x) có đạo hàm trên khoảng (a; b). Khi đó

 

Chú ý

• Quy tắc đạo hàm của tổng, hiệu có thể áp dụng cho tổng, hiệu của hai hay nhiều hàm số.

• Với k là một hằng số, ta có:  $(ku{)}^{\text{'}}=k{u}^{\text{'}}$

• Đạo hàm của hàm số nghịch đảo:  ${\left(\frac{1}{v}\right)}^{\text{'}}=-\frac{v^{\text{'}}}{v^2}(v=v(x)\ne 0)$

Ví dụ 1. Tìm đạo hàm các hàm số

 

Hướng dẫn giải

 

3. Đạo hàm của hàm số hợp

3.1. Khái niệm hàm số hợp

Giả sử u = g(x) là hàm số xác định trên khoảng (a; b), có tập giá trị chứa trong khoảng (c; d) và y = f(u) là hàm số xác định trên khoảng (c; d). Hàm số y = f(g(x)) được gọi là hàm số hợp của hàm số y = f(u) với u = g(x).

3.2. Đạo hàm của hàm số hợp

Nếu hàm số u = g(x) có đạo hàm  ${u^{\text{'}}}_x$ tại x và hàm số y = f(u) có đạo hàm  ${y^{\text{'}}}_u$ tại u thì hàm số hợp y = f(g(x)) có đạo hàm ${y^{\text{'}}}_x$ tại x là

 ${y^{\text{'}}}_x={y^{\text{'}}}_u\cdot {u^{\text{'}}}_x.$

Ví dụ 2. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y={\left(\frac{2x+1}{x-1}\right)}^3$                                 b) $y=\sqrt{3x^2-2x+1}$

Hướng dẫn giải

 

4. Đạo hàm của hàm số lượng giác

4.1. Đạo hàm của hàm số y = sin x

• Hàm số y = sin x có đạo hàm trên  $ℝ$ và  $(\sin x{)}^{\text{'}}=\cos x$

• Đối với hàm số hợp y = sin u, với u = u(x), ta có:  $(\sin u{)}^{\text{'}}=u^{\text{'}}\cdot \cos u$

4.2. Đạo hàm của hàm số y = cos x

• Hàm số y = cos x có đạo hàm trên  $ℝ$ và  $(\cos x{)}^{\text{'}}=-\sin x$

• Đối với hàm số hợp y = cos u, với u = u(x), ta có:  $(\cos u{)}^{\text{'}}=-u^{\text{'}}\cdot \sin u$

Ví dụ 3. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y=\sin 2x+\cos 5x$

b)  $y=\sin x\cdot \cos 4x$

Hướng dẫn giải

 

4.3. Đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

• Hàm số y = tan x có đạo hàm tại mọi  $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi (k\in \mathbb{Z})$ và  $(\tan x{)}^{\text{'}}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

• Hàm số y = cot x có đạo hàm tại mọi  $x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$ và  $(\cot x{)}^{\text{'}}=-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$

• Đối với các hàm số hợp y = tan u và y = cot u, với u = u(x), ta có

 $(\tan u{)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{{\cos }^{2}u};(\cot u{)}^{\text{'}}=-\frac{u^{\text{'}}}{{\sin }^{2}u}$   (giả thiết tan u và cot u có nghĩa).

Ví dụ 4. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

 $a) y=\tan \left(2x+1\right); b) y=\cot \left(3x^2-5\right).$

Hướng dẫn giải

 

5. Đạo hàm của hàm số mũ và hàm số lôgarit

5.1. Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

Chú ý:

•  $\underset{t\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t=e$

•  $\underset{t\to -\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t=e$

Nhận xét. Ta có các giới hạn sau:

 $\underset{x\to 0}{\lim }{(1+x)}^{\frac{1}{x}}=e;\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1;\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1.$

5.2. Đạo hàm của hàm số mũ

• Hàm số $y=e^x$ có đạo hàm trên  $\mathrm{ℝ}$ và  ${\left(e^x\right)}^{\text{'}}=e^x$

Đối với hàm số hợp  $y=e^u$, với u = u(x), ta có:  ${\left(e^u\right)}^{\text{'}}=e^u\cdot u^{\text{'}}$

• Hàm số  $y=a^x(0<a\ne 1)$ có đạo hàm trên  $\mathrm{ℝ}$ và  ${\left(a^x\right)}^{\text{'}}=a^x\ln a$

Đối với hàm số hợp  $y=a^u$, với u = u(x), ta có:  ${\left(a^u\right)}^{\text{'}}=a^u\cdot u^{\text{'}}\cdot \ln a$

5.3. Đạo hàm của hàm số lôgarit

• Hàm số y = ln x có đạo hàm trên khoảng  $(0;+\infty )$ và  $(\ln x{)}^{\text{'}}=\frac{1}{x}$

Đối với hàm số hợp y = ln u, với u = u(x), ta có:  $(\ln u{)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{u}$

• Hàm số $y={\log }_{a}x$ có đạo hàm trên khoảng $(0;+\infty )$ và ${\left({\log }_{a}x\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln a}$

Đối với hàm số hợp  $y={\log }_{a}u$, với u = u(x), ta có:  ${\left({\log }_{a}u\right)}^{\text{'}}=\frac{u^{\text{'}}}{u\ln a}$

Chú ý. Với x < 0, ta có:  $\ln \left|x\right|=\ln (-x)$ và  $\left[\ln \right(-x){]}^{\text{'}}=\frac{(-x{)}^{\text{'}}}{-x}=\frac{1}{x}$. Từ đó ta có:

 $\left(\ln \right|x|{)}^{\text{'}}=\frac{1}{x},\forall x\ne 0$

Ví dụ 5. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y={\ln }^2(3x+2)$

b) $y=\frac{1}{e^{3x}-1}$

Hướng dẫn giải

 

Bài tập Các quy tắc tính đạo hàm

Bài 1. Tìm đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y={\left(\frac{1-\sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}\right)}^2;$                                b)  $y={\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)}^2.$

Hướng dẫn giải

 

Bài 2. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y=\frac{1-\sqrt[3]{x}}{1+\sqrt[3]{x}}$ với x>0 ;

b)  $y=\left(1+x-2x^2\right)\left(2-x^2+\frac{x^3}{3}\right)$.

Hướng dẫn giải

Bài 3. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y=\left(\sin x+2\cos x\right)\left(\sin x-2\cos x+1\right)$

b)  $y=\frac{\tan x-1}{\cot x+2}$

Hướng dẫn giải

 

Bài 4. Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)  $y=\frac{2^x+1}{2^x-1}$

b)  $y=\left(3\ln x+2\right)\left(2{\log }_{3}x-5\right)$

Hướng dẫn giải

 

Bài 5. Tính đạo hàm của mỗi hàm số sau tại điểm  $x_0=\frac{\pi }{4}$

a)  $f\left(x\right)=2\sin x$

b)  $g\left(x\right)=\cot \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$

Hướng dẫn giải

a)  $f^{\text{'}}\left(x\right)=2(\sin x{)}^{\text{'}}=2\cos x$

Đạo hàm của hàm số f(x) tại điểm  $x_0=\frac{\pi }{4}$ là: $f^{\text{'}}\left(\frac{\pi }{4}\right)=2\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)=\sqrt{2}$

Bài 6. Một chất điểm chuyển động theo phương trình  $s\left(t\right)=6\sin \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$, trong đó  t>0, t tính bằng giây, s(t) tính bằng centimét. Tính vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm  $t=\frac{\pi }{6}( s)$

Hướng dẫn giải

Vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm t (s) là:  $v\left(t\right)=s^{\text{'}}\left(t\right)=18\cos \left(3t+\frac{\pi }{4}\right)$

Vậy vận tốc tức thời của chất điểm tại thời điểm  $t=\frac{\pi }{6}( s)$ là:

 $v\left(\frac{\pi }{6}\right)=18\cos \left(3\cdot \frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{4}\right)=-9\sqrt{2}\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}(cm/s)}.$

Học tốt Các quy tắc tính đạo hàm

Các bài học để học tốt Các quy tắc tính đạo hàm Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

• Lý thuyết Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8

• Lý thuyết Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

• Lý thuyết Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 9

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---