Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8 Kết nối tri thức

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8: Các quy tắc tính xác suất sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết với bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Chương 8.

Lý thuyết tổng hợp Toán 11 Chương 8

1. Biến cố hợp

Cho A và B là hai biến cố. Biến cố: “A hoặc B xảy ra” được gọi là biến cố hợp của A và B, kí hiệu là  $A\cup B$. Biến cố hợp của A và B là tập con $A\cup B$ của không gian mẫu Ω.

 

2. Biến cố giao

Cho A và B là hai biến cố. Biến cố: “Cả A và B đều xảy ra” được gọi là biến cố giao của A và B, kí hiệu là AB.

Biến cố giao của A và B là tập con  $A\cap B$ của không gian mẫu Ω.

 

3. Biến cố độc lập

Cặp biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia.

Chú ý. Nếu cặp biến cố A và B độc lập thì các cặp biến cố: A và  $\overline{B}$; $\overline{A}$ và B; $\overline{A}$và $\overline{B}$ cũng độc lập.

4. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

4.1. Biến cố xung khắc

Biến cố A và biến cố B được gọi là xung khắc nếu A và B không đồng thời xảy ra.

Hai biến cố A và B xung khắc khi và chỉ khi  $A\cap B=\varnothing$

 

4.2. Công thức cộng xác suất cho hai biến cố xung khắc

Với hai biến cố xung khắc, ta có công thức tính xác suất của biến cố hợp như sau:

Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì  $P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

5. Công thức cộng xác suất

Cho hai biến cố A và B. Khi đó, ta có:  $P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right).$

Công thức này được gọi là công thức cộng xác suất.

6. Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì

$P\left(AB\right)=P\left(A\right)\cdot P\left(B\right).$

Công thức này gọi là công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập.

Chú ý. Với hai biến cố A và B, nếu  $P\left(AB\right)\ne P\left(A\right)P\left(B\right)$ thì A và B không độc lập.

Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 8

Bài 1. Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể đi bằng các phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy hoặc máy bay. Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, 5 chuyến tàu hỏa, 3 chuyến tàu thủy và 2 chuyến máy bay. Gọi A là biến cố “chọn phương tiện ô tô hoặc tàu hỏa”, B là biến cố “Chọn phương tiện tàu thủy hoặc máy bay”.

a) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A và B?

b) Hãy mô tả bằng lời biến cố  $A\cup B$ và tính số kết quả thuận lời cho biến cố $A\cup B$

Hướng dẫn giải

a) Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 10 + 5 = 15.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 3 + 2 = 5.

b) Biến cố $A\cup B$ là biến cố “Chọn một phương tiện để di chuyển từ A đến B”. Số kết quả thuận lợi của biến cố $A\cup B$ là:  15+5 = 20

Bài 2. Gieo hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Gọi A là biến cố “Tích số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số lẻ”, B là biến cố “Tổng số chấm xuất hiện trên hai con xúc xắc là một số chẵn”.

a) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố AB.

b) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố  $\overline{A}B$.

c) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố $A\overline{B}$

d) Hãy viết tập hợp mô tả biến cố  $\overline{A}\overline{B}$

Hướng dẫn giải

Gọi Ω là không gian mẫu.

Suy ra $\Omega =\left(\left(i;j\right)|i,j=1;2;\mathrm{...};6\right)$

Bài 3. Hai bạn Sơn và Tùng, mỗi bạn gieo đồng thời hai đồng xu cân đối. Xét hai biến cố sau:

E: “Cả hai đồng xu bạn Sơn gieo đều ra mặt sấp”.

F: “Hai đồng xu bạn Tùng gieo có một sấp, một ngửa”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố E và F độc lập.

Hướng dẫn giải

Nếu F xảy ra thì  $P\left(E\right)=\frac{1}{4}$; nếu F không xảy ra thì $P\left(E\right)=\frac{1}{4}$

Nếu E xảy ra thì $P\left(F\right)=\frac{1}{2}$; nếu E không xảy ra thì $P\left(F\right)=\frac{1}{2}$

Vậy hai biến cố E và F độc lập.

Bài 4. Một chiếc túi có 12 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Bạn Hoà rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong túi để sang bên cạnh. Tiếp theo, bạn Bình rút ngẫu nhiên tiếp một tấm thẻ. Xét hai biến cố sau:

M: “Bạn Hoà rút được tấm thẻ ghi số lẻ”;

N: “Bạn Bình rút được tấm thẻ ghi số chẵn”.

Chứng tỏ rằng hai biến cố M và N không độc lập.

Hướng dẫn giải

Có 6 số lẻ là {1; 3; 5; 7; 9; 11} và 6 số chẵn là {2; 4; 6; 8; 10; 12}.

Nếu M xảy ra, tức là bạn Hoà rút được tấm thẻ ghi số lẻ thì sau đó trong túi còn 11 tấm thẻ với 5 tấm thẻ ghi số lẻ và 6 tấm thẻ ghi số chẵn. Vậy $P\left(N\right)=\frac{6}{11}$

Nếu M không xảy ra, tức là bạn Hoà rút được tấm thẻ ghi số chẵn thì sau đó trong túi còn 11 tấm thẻ với 6 tấm thẻ ghi số lẻ và 5 tấm thẻ ghi số chẵn. Vậy $P\left(N\right)=\frac{5}{11}$

Như vậy xác suất của N thay đổi tuỳ theo M xảy ra hay M không xảy ra.

Do đó hai biến cố M và N không độc lập.

Bài 5. Trong một hộp có 8 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp. Gọi A là biến cố: “Cả hai viên bi có màu xanh”; B là biến cố: “Có một viên bi màu xanh và một viên bi màu đỏ”.

a) Tính P(A) và P(B).

b) Tính xác suất để trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh.

Hướng dẫn giải

Vậy  $P\left(A\right)=\frac{28}{91},P\left(B\right)=\frac{48}{91}$

b) Cách 1: Xét biến cố C: “Trong hai viên bi lấy ra có ít nhất một viên bi màu xanh”, nên C là biến cố hợp của A và B. Do A và B là hai biến cố xung khắc.

Do đó,  

Cách 2: Xét biến cố đối  $\overline{C}$: “Cả hai viên bi lấy ra đều có màu đỏ”.

Khi đó $n\left(\overline{C}\right)=C_6^2=15$ . Suy ra  $P\left(\overline{C}\right)=\frac{15}{91}$

Vậy  $P\left(C\right)=1-P\left(\overline{C}\right)=1-\frac{15}{91}=\frac{76}{91}$

Bài 6. Trong một căn phòng có 36 người, trong đó có 25 người họ Nguyễn và 11 người họ Trần. Chọn ngẫu nhiên hai người trong phòng đó. Tính xác suất để hai người được chọn có cùng họ.

Hướng dẫn giải

Xét các biến cố sau:

A: “Cả hai người được chọn đều họ Nguyễn”;

B: “Cả hai người được chọn đều họ Trần”;

C: “Cả hai người được chọn có cùng họ”.

C là biến cố hợp của A và B.

Do A và B xung khắc nên  $P\left(C\right)=P(A\cup B)=P\left(A\right)+P\left(B\right)$

Ta có: 

Bài 7. Người ta tiến thành lập các số có ba chữ số khác nhau từ các chữ số: 0; 1; 2; 3; 4; 5. Gọi A là biến cố “Số được lập là số chẵn”, B là biến cố “Số được lập là số chia hết cho 5”.

a) Có bao nhiêu kết quả thuận lợi cho biến cố A và B?

b) Tính xác suất của biến cố “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 5”.

Hướng dẫn giải

a) Gọi số có 3 chữ số là: $\overline{abc}$

+ Xét TH số được chọn là số chẵn.

TH1:c = 0, nên 1 có một cách chọn.

Số cách chọn a và a là $A_5^2=20$

Áp dụng quy tắc nhân 1 ∙ 20 = 20.

TH2: $c\in \left(2;4\right)$, nên c có 2 cách chọn.

$a\ne 0;c$ nên a có 4 cách chọn.

$b\ne a;c$, nên b có 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân 2 ∙ 4 ∙ 4 = 32.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố A là 20 + 32 = 52.

+ Xét TH số được chọn chia hết cho 5.

TH1:c = 0, nên  c có 1 cách chọn.

Số cách chọn a và b là  $A_5^2=20$

Áp dụng quy tắc nhân: 1 ∙ 20 = 20.

TH2: c = 5, nên c có 1 cách chọn.

$a\ne 0;c$ nên a có 4 cách chọn.

$b\ne a;c$, nên b có 4 cách chọn.

Áp dụng quy tắc nhân 1 ∙ 4 ∙ 4 = 16.

Số kết quả thuận lợi cho biến cố B là 20 + 16 = 36.

b) Gọi C là biến cố “Số được chọn chia hết cho 2 hoặc 5”.

Vậy  $C=A\cup B$

Không gian mẫu: n(Ω) =  $5\cdot A_5^2=100$ Khi đó P(A) = $\frac{52}{100}$, P(B) =  $\frac{36}{100}$.

Một số chia hết cho cả 2 và 5 thì chia hết cho 10, nên ta có 5 ∙ 4 ∙ 1 = 20 số, điều đó có nghĩa là P(AB) =  $\frac{20}{100}$

Một số chia hết cho cả 2 và 5 thì chia hết cho 10, nên ta có 5 ∙ 4 ∙ 1 = 20 số, điều đó có nghĩa là P(AB) =  $\frac{20}{100}$

Bài 8. Cho A và B là hai biến cố độc lập.

a) Biết P(A) = 0,3 và P(B) = 0,7. Hãy tính xác suất của các biến cố $AB,\overline{A}B$ và $\overline{A}\overline{B}$

b) Biết P(A) = 0,8 và P(AB) = 0,4. Hãy tính xác suất của các biến cố  $B,\overline{A}B$ và $\overline{A}\overline{B}$

Hướng dẫn giải

a) Do A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố AB là

Vì  $\overline{A}$ là biến cố đối của A nên $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=0,7$

Do $\overline{A}$ và Blà hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}B$ là 

 

Vì $\overline{B}$ là biến cố đối của B nên  $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=0,3$

Do $\overline{A}$và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố  $\overline{A}\overline{B}$ là

 

b) Do A và B là hai biến cố độc lập nên $P\left(B\right)=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,4}{0,8}=0,5.$

Vì $\overline{A}$ là biến cố đối của A nên  $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=0,2$

Do $\overline{A}$ và B là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố  $\overline{A}B$ là

Vì $\overline{B}$ là biến cố đối của B nên $P\left(\overline{B}\right)=1-P\left(B\right)=0,5$

Do $\overline{A}$ và $\overline{B}$ là hai biến cố độc lập nên xác suất của biến cố $\overline{A}\overline{B}$ là

 

Bài 9. Gieo ba xúc xắc cân đối và đồng chất. Xét các biến cố sau:

A: “Số chấm xuất hiện trên mặt của ba xúc xắc khác nhau”.

B: “Có ít nhất một xúc xắc xuất hiện mặt 6 chấm”.

Chứng minh rằng hai biến cố A và B không độc lập.

Hướng dẫn giải

Ta cần chứng minh $P\left(AB\right)\ne P\left(A\right)P\left(B\right)$.

Mỗi bộ (a, b, c) là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử {1; 2; 3; 4; 5; 6}.

Ta có $n\left(A\right)=A_6^3=120$

Vậy  $P\left(A\right)=\frac{120}{216}$

+ Tính P(B):

Xét biến cố đối  $\overline{B}$: “Số chấm xuất hiện trên mỗi xúc xắc đều khác 6”. Mỗi kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$ là một bộ ba số (a, b, c) trong đó $1\le a,b,c\le 6$

Do đó theo quy tắc nhân, số kết quả thuận lợi cho $\overline{B}$  là 5 ∙ 5 ∙ 5 = 125.

Vậy $P\left(\overline{B}\right)=\frac{125}{216}$.  $P\left(B\right)=1-P\left(\overline{B}\right)=\frac{91}{216}$

+ Tính P(AB):

Mỗi kết quả thuận lợi cho AB là một bộ ba số (a, b, c) trong đó $1\le a,b,c\le 6$ và a, b, c là các số nguyên dương khác nhau và có đúng một số bằng 6. Có 3 cách chọn một số bằng 6 và  $A_5^2=20$ cách chọn hai số còn lại trong 5 số {1; 2; 3; 4; 5}. Theo quy tắc nhân, ta có 3 ∙ 20 = 60 kết quả thuận lợi.

Do đó  $P\left(AB\right)=\frac{60}{216}\ne P\left(A\right)P\left(B\right)=\frac{120}{216}\cdot \frac{91}{216}$

Vậy hai biến cố A, B không độc lập.

Bài 10. Một công ty may mặc có hai hệ thống máy chạy độc lập với nhau. Xác suất để hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt là 95%, xác suất để hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt là 85%. Công ty chỉ có thể hoàn thành đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy hoạt động tốt. Tính xác suất để công ty hoàn thành đúng hạn.

Hướng dẫn giải

Goi A là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động tốt”.

B là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động tốt”.

C là biến cố: “Công ty hoàn thành đúng hạn”.

Ta có  $\overline{A}$ là biến cố: “Hệ thống máy thứ nhất hoạt động không tốt”.

$\overline{B}$ là biến cố: “Hệ thống máy thứ hai hoạt động không tốt”.

 $\overline{C}$ là biến cố: “Công ty hoàn thành không đúng hạn”.

 

Vì A và B là hai biến cố độc lập nên $\overline{A}$ và$\overline{B}$ là hai biến cố độc lập.

Bài 11. Một xạ thủ bắn lần lượt hai viên đạn vào bia. Xác suất bắn không trúng đích của viên thứ nhất và viên thứ hai lần lượt là 0,2 và 0,3. Biết rằng kết quả các lần bắn độc lập với nhau. Tính xác suất của các biến cố sau:

a) “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.

b) “Cả hai lần bắn đều trúng đích”.

c) “Lần bắn thứ nhất không trúng đích, lần bắn thứ hai trúng đích”.

d) “Có ít nhất một lần bắn trúng đích”.

Hướng dẫn giải

Gọi biến cố A_i: “ Lần bắn thứ i không trúng đích” với i ∈ {1; 2}.

Biến cố $\overline{A}$: “Lần bắn thứ i trúng đích” với i ∈ {1; 2}.

 

a) Gọi biến cố A: “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.

Ta có  $A=A_1{A}_2$và  $A_1;A_2$là hai biến cố độc lập.

b) Gọi biến cố B: “Cả hai lần bắn đều trúng đích”.

Ta có  $B=\overline{A_1}\overline{A_2}$ và  $\overline{A_1};\overline{A_2}$ là hai biến cố độc lập.

c) Gọi biến cố C: “Lần bắn thứ nhất không trúng đích, lần bắn thứ hai trúng đích ”.

Ta có  $C=A_1\overline{A_2}$và $A_1;\overline{A_2}$ là hai biến cố độc lập.

d) Gọi biến cố D: “Có ít nhất một lần bắn trúng đích”.

          biến cố $\overline{D}$: “Cả hai lần bắn đều không trúng đích”.

Học tốt Toán 11 Chương 8

Các bài học để học tốt Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 8 Toán lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Bài tập cuối chương 8

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 11 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 11 Bài 29: Công thức cộng xác suất

• Lý thuyết Toán 11 Bài 30: Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập

• Lý thuyết Toán 11 Bài 31: Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm

• Lý thuyết Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

• Lý thuyết Toán 11 Bài 33: Đạo hàm cấp hai

• Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 9

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

• Giải sgk Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức
• Giải lớp 11 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 11 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 11 Cánh diều (các môn học)

---