Bài 2 trang 73 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải sgk Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

Bài 2 trang 73 Toán 11 Tập 2: Cho tam giác đều ABC cạnh a, I trung điểm của BC, D là điểm đối xứng với A qua I. Vẽ đoạn thẳng SD có độ dài $\frac{a \sqrt{6}}{2}$ và vuông góc với (ABC). Chứng minh rằng:

a) (SBC) ⊥ (SAD);

b) (SAB) ⊥ (SAC).

Lời giải:

Bài 2 trang 73 Toán 11 Tập 2 Chân trời sáng tạo | Giải Toán 11

a) Tam giác ABC đều có I là trung điểm nên AI ⊥ CB hay AD ⊥ BC.

Vì SD ⊥ (ABC) ⇒ SD ⊥ BC.

⇒ BC ⊥ (SAD)

Nên (SAD) ⊥ (SBC)

b) Tam giác ABC đều nên $AI = \frac{a \sqrt{3}}{3}, AD = a \sqrt{3}$

Ta có: ΔSAD vuông tại D nên $SA = \sqrt{{AD}^{2} + {SD}^{2}} = \frac{3 a \sqrt{2}}{2}$

Kẻ IH ⊥ SA.

Xét ΔAHI và ΔADS:

$\hat{A}$ chung

$\hat{AHI} = \hat{ADS} = 90 °$

Do đóΔAHI ᔕ ΔADS (g.g)

$\Rightarrow \frac{HI}{DS} = \frac{AI}{AS} \Rightarrow IH = \frac{SD . AI}{AS} = \frac{a}{2}$

Tam giác BHC có HI là trung tuyến và HI = $\frac{1}{2}$ BC

⇒ ΔBHC vuông tại H.

Ta có: BC ⊥ (SAD) nên SA ⊥ BC.

Mà SA ⊥ HI nên SA ⊥ (HBC)

$\begin{matrix} \Rightarrow SA ⊥ HB \\ BH ⊥ HC (ΔBHC ⊥ H) \end{matrix}\} \Rightarrow HB ⊥ (SAC)$

Mà HB ⊂ (SAB)

⇒ (SAB) ⊥ (SAC)

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc hay, chi tiết khác:

Các bài học để học tốt Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc:

Giải SBT Toán 11 Bài 3: Hai mặt phẳng vuông góc

Xem lời giải

Xem thêm lời giải bài tập Toán lớp 11 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 11 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 11 Chân trời sáng tạo khác