Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết rằng AD cắt BC tại E, AC cắt BD tại F

Bài 9.25 trang 56 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho hình thang ABCD (AB // CD). Biết rằng AD cắt BC tại E, AC cắt BD tại F.

a) Chứng minh rằng: ∆EAB ᔕ ∆EDC, ∆FAB ᔕ ∆FCD.

b) Lấy hai điểm M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Chứng minh rằng bốn điểm M, N, E, F thẳng hàng.

Lời giải:

Vì AB song song với đáy CD của tam giác EDC nên ∆EAB ᔕ ∆EDC.

Vì AB song song với đáy CD của tam giác FCD nên ∆FAB ᔕ ∆FCD.

Vì ∆EAB ᔕ ∆EDC (cmt) nên $\frac{E A}{E D} = \frac{A B}{D C} = \frac{2 A M}{2 D N} = \frac{A M}{D N}$ (do M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD).

Tam giác EAM và tam giác EDN có:

$\frac{E A}{E D} = \frac{A M}{D N}$ (cmt)

$\hat{E A M} = \hat{E D N}$ (AM song song với DN, hai góc đồng vị)

Do đó, ∆EAM ᔕ ∆EDN (c.g.c).

Suy ra $\hat{A E M} = \hat{D E N}$ .

Do đó, tia EM trùng với tia EN hay 3 điểm M, E, N thẳng hàng (1).

Vì ∆FAB ᔕ ∆FCD nên $\frac{F A}{F C} = \frac{A B}{C D} = \frac{A M}{C N}$ .

Hai tam giác FAM và tam giác FCN có:

$\frac{F A}{F C} = \frac{A M}{C N}$ (cmt)

$\hat{F A M} = \hat{F C N}$ (AM song song với CN, hai góc so le trong)

Do đó, ∆FAM ᔕ ∆FCN (c.g.c).

Nên $\hat{A F M} = \hat{C F N}$

Do đó, tia FM và tia FN là hai tia đối nhau.

Suy ra, F, M, N thẳng hàng (2).

Từ (1) và (2) ta có: 4 điểm M, E, F, N thẳng hàng.

Lời giải SBT Toán 8 Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác