Cho tam giác ABC và hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho MN song song

Trang trước Trang sau

Bài 9.23 trang 56 SBT Toán lớp 8 Tập 2: Cho tam giác ABC và hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC. Gọi ME, BF lần lượt là phân giác của các góc M, B của các tam giác AMN và tam giác ABC. Chứng minh rằng:

a) ∆MEN ᔕ ∆BFC.

b) $\frac{A E}{A F} = \frac{M N}{B C}$ .

Lời giải:

Cho tam giác ABC và hai điểm M, N lần lượt nằm trên hai cạnh AB, AC sao cho MN song song

Vì MN song song với BC (gt) nên

$\hat{E N M} = \hat{C}$ (hai góc đồng vị);

$\hat{A M N} = \hat{A B C}$ (hai góc đồng vị).

Mà ME, BF lần lượt là phân giác của các góc M, B của các tam giác AMN và tam giác ABC nên $\hat{E M N} = \frac{1}{2} \hat{A M N}$ và $\hat{F B C} = \frac{1}{2} \hat{A B C}$ . Do đó, $\hat{E M N} = \hat{F B C}$ .

Tam giác MEN và tam giác BFC có:

$\hat{E N M} = \hat{C}$ (cmt)

$\hat{E M N} = \hat{F B C}$ (cmt)

Do đó, tam giác MEN đồng dạng với tam giác BFC (g.g).

Tam giác ABC có:

MN song song với BC

Nên theo hệ quả định lý Thalès ta có:

$\frac{M N}{B C} = \frac{A M}{A B}$ (1).

Vì ME, BF lần lượt là phân giác của $\hat{M}$ , $\hat{B}$ của tam giác AMN và tam giác ABC nên $\hat{E M A} = \frac{1}{2} \hat{A M N} = \frac{1}{2} \hat{A B C} = \hat{F B A}$ .

Do đó $\hat{E M A} = \hat{F B A}$ , mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên ME song song với BF.

Tam giác ABF có ME song song với BF nên theo hệ quả định lý Thalès ta có:

$\frac{A E}{A F} = \frac{A M}{A B}$ (2).

Từ (1) và (2) ta có: $\frac{A E}{A F} = \frac{M N}{B C}$ .

Lời giải SBT Toán 8 Bài 34: Ba trường hợp đồng dạng của hai tam giác hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 8 hay khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác