Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB E khác A và B

Trang trước Trang sau

Bài 4.18 trang 55 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB (E khác A và B), điểm F thuộc cạnh AD (F khác A và D). Đường thẳng qua D song song với EF cắt AC tại I. Đường thẳng qua B song song với EF cắt AC tại K.

a) Chứng minh rằng: AI = CK.

b) Gọi N là giao điểm của EF và AC. Chứng minh rằng: $\frac{A B}{A E} + \frac{A D}{A F} = \frac{A C}{A N}$ .

Lời giải:

Cho hình bình hành ABCD, điểm E thuộc cạnh AB E khác A và B

a) Ta có DI // EF và BK // EF nên EF // DI // BK

Do DI // BK nên $\hat{C I D} = \hat{A K B}$ (hai góc so le trong)

Mà $\hat{A I D} + \hat{C I D} = 180 °; \hat{C K B} + \hat{A K B} = 180 °$

Suy ra $\hat{A I D} = \hat{C K B}$ (1)

Do ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC

Suy ra $\hat{D A C} = \hat{B C A}$ (so le trong) hay $\hat{D A I} = \hat{B C K}$ (2)

Xét DADI có $\hat{A I D} + \hat{D A I} + \hat{A D I} = 180 °$ (3)

Xét DCBK có $\hat{C K B} + \hat{B C K} + \hat{C B K} = 180 °$ (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra $\hat{A D I} = \hat{C B K}$

Xét DADI và DCBK có:

(cmt); AD = BC (cmt); (cmt)

Do đó DADI = DCBK (g.c.g)

Suy ra AI = CK (hai cạnh tương ứng).

b) Trong ∆ABK có NE // BK nên $\frac{A B}{A E} = \frac{A K}{A N}$ (định lí Thalès).

Trong ∆ADI có FN // DI nên $\frac{A D}{A F} = \frac{A I}{A N}$ (định lí Thalès),

Mà AI = CK (câu a) nên $\frac{A D}{A F} = \frac{C K}{A N}$

Suy ra $\frac{A B}{A E} + \frac{A D}{A F} = \frac{A K}{A N} + \frac{C K}{A N} = \frac{A K + C K}{A N} = \frac{A C}{A N}$

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 4 hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác