Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD CE. Gọi M N theo thứ tự là trung điểm của BE CD

Trang trước Trang sau

Bài 4.16 trang 55 sách bài tập Toán 8 Tập 1: Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BE, CD. Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của MN với BD và CE. Chứng minh MI = IK = KN.

Lời giải:

Trong ∆ABC có các đường trung tuyến BD, CE nên D là trung điểm của AC, E là trung điểm của AB nên ED là đường trung bình của ∆ABC

Suy ra $E D = \frac{1}{2} B C$ và ED // BC (tính chất đường trung bình của tam giác)

Ta có: E là trung điểm của AB nên $A E = E B = \frac{1}{2} A B$

Mà M là trung điểm của EB nên $E M = M B = \frac{1}{2} E B = \frac{1}{4} A B$ hay $\frac{M B}{A B} = \frac{1}{4}$

Tương tự, ta cũng có $N C = \frac{1}{4} A C$ hay $\frac{N C}{A C} = \frac{1}{4}$

Suy ra $\frac{M B}{A B} = \frac{N C}{A C} (= \frac{1}{4})$

Xét DABC có $\frac{M B}{A B} = \frac{N C}{A C}$ nên MN // BC (định lí Thalès đảo)

Lại có ED // BC nên ED // MN // BC.

Xét DBDE có M là trung điểm của EB và MI // ED (do ED // MN)

Suy ra I là trung điểm của BD hay IB = ID

Khi đó MI là đường trung bình của DBDE nên $M I = \frac{1}{2} E D$ .

Tương tự, trong DCDE ta cũng có $K N = \frac{1}{2} E D,$ trong DBCE có $M K = \frac{1}{2} B C$ .

Ta có $I K = M K - M I = \frac{1}{2} B C - \frac{1}{2} E D = E D - \frac{1}{2} E D = \frac{1}{2} E D$ .

Do đó $M I = I K = K N = \frac{1}{2} E D$ .

Lời giải SBT Toán 8 Bài tập cuối chương 4 hay khác:

Xem thêm giải sách bài tập Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác