Bài 7 trang 134 SGK Toán 9 Tập 2

Bài tập ôn cuối năm

B - Phần Hình Học

Video Bài 7 trang 134 SGK Toán 9 Tập 2 - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 7 (trang 134 SGK Toán 9 Tập 2): Cho tam giác đều ABC, O là trung điểm của BC. Trên các cạnh AB, AC lần lượt lấy các điểm di động D và E sao cho $\hat{D O E} = 60^{o}$ .

a) Chứng minh tích BD.CE không đổi.

b) Chứng minh ΔBOD ∼ ΔOED. Từ đó suy ra tia DO là tia phân giác của $\hat{B D E}$ .

c) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB. Chứng minh rằng đường tròn này luôn tiếp xúc với DE.

Lời giải

Giải bài 7 trang 134 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Xét tam giác ABC đều

$\Rightarrow \hat{B} = \hat{C} = 60^{o}$

Xét tam giác BDO có:

$\hat{B} + \hat{D_{1}} + \hat{B O D} = 180^{o}$

$\Rightarrow \hat{D_{1}} = 180^{o} - \hat{B} - \hat{B O D}$

$= 180^{o} - 60^{o} - \hat{B O D} = 120^{o} - \hat{B O D}$ (1)

Ta lại có:

$\hat{B O D} + \hat{D O E} + \hat{E O C} = \hat{B O C} = 180^{o}$

$\Rightarrow \hat{E O C} = 180^{o} - \hat{D O E} - \hat{B O D}$

$= 180^{o} - 60^{o} - \hat{B O D} = 120^{o} - \hat{B O D}$ (2)

Từ (1) và (2) ta suy ra: $\hat{D_{1}} = \hat{E O C}$

Xét tam giác BOD và tam giác CEO có:

$\hat{B} = \hat{C} = 60^{o}$

$\hat{D_{1}} = \hat{E O C}$ (cmt)

Do đó, tam giác BOD đồng dạng với tam giác CEO (góc – góc)

$\Rightarrow \frac{B O}{C E} = \frac{B D}{C O}$

$\Rightarrow B D . C E = B O . C O = \frac{B C}{2} . \frac{B C}{2} = \frac{B C^{2}}{4}$ (luôn không đổi)

Vậy tích BD.CE không đổi.

Ta có, tam giác BOD đồng dạng với tam giác CEO

$\Rightarrow \frac{O D}{E O} = \frac{B D}{C O}$

Mà CO = BO $\Rightarrow \frac{O D}{E O} = \frac{B D}{B O}$

Xét tam giác BOD và tam giác OED có:

$\hat{B} = \hat{E O D} = 60^{o}$

$\frac{O D}{E O} = \frac{B D}{B O}$ (cmt)

Do đó, tam giác BOD và tam giác OED đồng dạng (cạnh – góc – cạnh)

$\Rightarrow \hat{B D O} = \hat{O D E}$

Do đó, DO là tia phân giác của $\hat{B D E}$ .

Gọi đường tròn tâm O tiếp xúc với AB có bán kính R.

Gọi H, K là chân đường vuông góc hạ từ O đến DE và AB

Do đó, R = OK

O thuộc đường phân giác DO của $\hat{B D E}$

$\Rightarrow O H = O K = R$ (tính chất tia phân giác của góc)

Mà DE vuông góc với OH tại H

Do đó, DE tiếp xúc với (O; R) (đcpcm).

Tham khảo các lời giải Toán 9 Bài tập ôn cuối năm - Phần Hình Học khác:

Tham khảo các lời giải Toán 9 Chương 4 khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 9 hay khác:

Trang trước

Trang sau

bai-tap-on-cuoi-nam.jsp

Giải bài tập lớp 9 sách mới các môn học