Giải bài 5 trang 92 sgk Hình học 12

Bài 5 (trang 92 SGK Hình học 12): Cho mặt cầu (S) có phương trình: (x – 3)² + (y + 2)² + (z – 1)² = 100 và mặt phẳng (α) có phương trình 2x – 2y – z + 9 = 0. Mp(α) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn (C).

Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn (C).

Lời giải:

Giải bài 5 trang 92 sgk Hình học 12 | Để học tốt Toán 12

Mặt cầu (S) có phương trình (x – 3)² + (y + 2)² + (z – 1)² = 100 nên mặt cầu này có tâm I( 3; –2; 1) và bán kính R = 10.

Gọi H là tâm của đường tròn (C). Khi đó; H là hình chiếu vuông góc của điểm I lên mp(α).

Đường thẳng IH vuông góc với mp(α) nên nhận $\vec{n_{α}}$ = (2; –2; –1) làm VTCP.

Suy ra phương trình tham số của đường thẳng IH là:

$\{\begin{matrix} x = 3 + 2 t \\ y = - 2 - 2 t \\ z = 1 - t \end{matrix}$

Điểm H thuộc đường thẳng IH nên tọa độ H là H(3 + 2t; – 2– 2t; 1– t).

Mặt khác, điểm H nằm trên mp(α) thay tọa độ điểm H vào phương trình mp(α) ta được:

2(3 + 2t) – 2(–2– 2t) – (1– t) + 9 = 0

⇔ 6 + 4t + 4 + 4t – 1 + t + 9 = 0

⇔ 9t + 18 = 0 nên t = –2.

Vậy H( –1; 2; 3).

Ta có: IH = $\sqrt{{(3 + 1)}^{2} + {(- 2 - 2)}^{2} + {(1 - 3)}^{2}}$ = 6

Suy ra bán kính đường tròn (C) là:

$r = \sqrt{R^{2} - I H^{2}} = \sqrt{10^{2} - 6^{2}} = 8$

Kiến thức áp dụng

+ Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính R là :

(S) : (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

+ Mặt phẳng (α) cắt mặt cầu (S) tâm I, bán kính R có thiết diện là một đường tròn bán kính r, ta luôn có:

Các bài giải bài tập Hình học 12 Ôn tập chương 3 khác :

Các bài giải Hình học 12 Chương 3 khác:

Trang trước

Trang sau

on-tap-chuong-3-hinh-hoc-12.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác