Giải bài 5 trang 107 sgk Đại số 11

Video giải Bài 5 trang 107 SGK Đại số 11 - Cô Ngô Hoàng Ngọc Hà (Giáo viên VietJack)

Bài 5 (trang 107 SGK Đại số 11): Chứng minh với mọi n ∈ N*, ta có:

a. 13ⁿ – 1 chia hết cho 6

b. 3n³ + 15 chia hết cho 9

Lời giải:

Chứng minh bằng phương pháp quy nạp.

a. Đặt u_n = 13ⁿ – 1

+ Với n = 1 thì u₁ = 13 – 1 = 12 chia hết 6

+ Giả sử: u_k = 13^k – 1 chia hết cho 6.

⇒ u_{k + 1} = 13^{k + 1} – 1

= 13^k+1 + 13^k – 13^k – 1

= 13^k(13 – 1) + 13^k – 1

= 12.13^k + u_k.

Mà 12.13^k ⋮ 6; u_k ⋮ 6.

⇒ u_{k + 1} ⋮ 6.

⇒ u_n ⋮ 6 với mọi n ∈ N.

hay 13ⁿ – 1 ⋮ 6 với mọi n ∈ N.

b. Đặt u_n = 3n³ + 15n

+ Với n = 1 ⇒ u₁ = 18 ⋮ 9.

+ Giả sử với n = k ≥ 1 ta có: u_k = (3k³ + 15k) ⋮ 9

⇒ u_k+1 = 3(k + 1)³ + 15(k + 1 )

= 3(k³ + 3k² + 3k + 1) + 15k + 15

= (3k³ + 15k) + 9k² + 9k + 18

= (3k³ + 15k) + 9(k² + k + 2)

= u_k + 9(k² + k + 2)

Mà u_k ⋮ 9 và 9(k² + k + 2) ⋮ 9

⇒ u_{k + 1} ⋮ 9.

Vậy u_n = 3n³ + 15n ⋮ 9 ∀n ∈ N*

Kiến thức áp dụng

+ Chứng minh mệnh đề (P) đúng với mọi số tự nhiên n bằng phương pháp quy nạp ta làm như sau:

Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.

Bước 2: Giả sử mệnh đề đúng với n = k ≥ 1

Cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.

⇒ Mệnh đề đúng với mọi n ∈ N.

Các bài giải bài tập Toán 11 Đại số Bài ôn tập Chương 3 khác:

Câu hỏi

Bài tập trắc nghiệm

Các bài giải bài tập Toán 11 Đại số Chương 3 khác:

on-tap-chuong-3.jsp

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học