Bài 60 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2

Ôn tập chương 3 - Hình học

Bài 60 trang 98 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Tam giác ABC có hai đường trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O. Từ điểm P bất kì trên cạnh AC, vẽ các đường thẳng PE song song với AK, PF song song với CL (E thuộc BC, F thuộc AB).Các trung tuyến AK, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N. Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau

Lời giải:

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Gọi Q là giao điểm của PF và AK, I là giao điểm của PE và CL.

Trong ΔFPE ta có: PE // AK hay QM // PE

Suy ra: $\frac{F Q}{F P} = \frac{F M}{F E}$ (định lí Ta-lét) (1)

Trong ΔALO ta có: PF // CL hay FQ // LO

Suy ra: $\frac{A F}{A L} = \frac{F Q}{L O}$ (định lí Ta-lét) (2).

Trong ΔALC ta có: PF // CL

Suy ra: $\frac{A F}{A L} = \frac{F P}{C L}$ (định lí Ta-lét) (3)

Từ (2) và (3) suy ra: $\frac{F Q}{L O} = \frac{F P}{C L} \Rightarrow \frac{F Q}{F P} = \frac{L O}{C L}$ .

Vì LO = $\frac{1}{3}$ CL (O giao điểm của hai đường trung tuyến, nên O là trọng tâm ∆BAC) nên $\frac{F Q}{F P} = \frac{1}{3}$ (4)

Từ (1) và (4) suy ra: $\frac{F M}{F E} = \frac{1}{3} \Rightarrow F M = \frac{1}{3} F E$ .

Trong ΔEPF ta có: PF // CL hay NI // PF

Suy ra: $\frac{E I}{E P} = \frac{E N}{E F}$ (định lí Ta –lét) (5)

Trong ΔCKO ta có: EI // OK

Suy ra: $\frac{C E}{C K} = \frac{E I}{K O}$ (định lí Ta –lét) (6)

Trong ΔCKA ta có: PE // AK

Suy ra: $\frac{C E}{C K} = \frac{E P}{A K}$ (định lí Ta –lét) (7)

Từ (6) và (7) suy ra: $\frac{E I}{O K} = \frac{E P}{A K} \Rightarrow \frac{E I}{E P} = \frac{O K}{A K}$ .

Vì OK = $\frac{1}{3}$ AK (O là trọng tâm ∆ABC) nên $\frac{E I}{E P} = \frac{1}{3}$ (8)

Từ (5) và (8) suy ra: $\frac{E N}{E F} = \frac{1}{3} \Rightarrow E N = \frac{1}{3} E F$ .

Ta có: MN = EF − (EN + FM) = $E F - (\frac{1}{3} E F + \frac{1}{3} E F) = \frac{1}{3} E F$ .

Vậy EN = MN = NF (điều phải chứng minh).

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 8 (SBT Toán 8) khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

Trang trước

Trang sau

on-tap-chuong-3-hinh-hoc.jsp

Giải bài tập lớp 8 sách mới các môn học