Bài 57 trang 98 SBT Toán 8 Tập 2

Ôn tập chương 3 - Hình học

Bài 57 trang 98 sách bài tập Toán 8 Tập 2: Cho hình bình hành ABCD .Từ A kẻ AM vuông góc với BC,AN vuông góc CD (M thuộc BC và N thuộc CD). Chứng mình rằng tam giác MAN đồng dạng với tam giác ABC.

Lời giải:

* Trường hợp góc B nhọn:

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Xét ΔAMB và ΔAND, ta có:

$\hat{A M B} = \hat{A N D}$ = 90^o

$\hat{B} = \hat{D}$ (tính chất hình bình hành)

Suy ra ΔAMB ∽ ΔAND (g.g)

Suy ra: $\frac{A M}{A N} = \frac{A B}{A D} \Rightarrow \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A D}$ .

Mà AD = BC (tính chất hình hình hành)

Suy ra $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{B C}$ .

Lại có: AB // CD (giả thiết) và AN ⊥ CD (giả thiết).

Suy ra: AN ⊥ AB hay $\hat{N A B}$ = 90^o

Suy ra: $\hat{N A M} + \hat{M A B}$ = 90^o (1)

Trong tam giác vuông AMB ta có $\hat{A M B}$ = 90^o

Suy ra: $\hat{M A B} + \hat{B}$ = 90^o (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $\hat{N A M} = \hat{B}$

Xét ΔABC và ΔMAN ta có:

$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{B C}$ (chứng minh trên)

$\hat{N A M} = \hat{B}$ (chứng minh trên)

Do đó ΔABC ∽ ΔMAN (c.g.c).

* Trường hợp góc B tù:

Giải sách bài tập Toán 8 | Giải bài tập Sách bài tập Toán 8

Xét ΔMAN và ΔAND, ta có:

$\hat{A M B} = \hat{A N D}$ = 90^o

$\hat{A B M} = \hat{A D N}$ (vì cùng bằng $\hat{B C D}$ )

Suy ra ΔAMB đồng dạng ΔAND (g.g)

Suy ra: $\frac{A M}{A N} = \frac{A B}{A D} \Rightarrow \frac{A M}{A B} = \frac{A N}{A D}$ .

Mà AD = BC (tính chất hình bình hành)

Suy ra: $\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{B C}$ .

Vì AB // CD nên $\hat{A B C} + \hat{B C D} = 180^{o}$ (3)

Tứ giác AMCN có $\hat{A M C} = \hat{A N D}$ = 90^o

Suy ra: $\hat{M A N} + \hat{M C N}$ = 180^o (4)

Từ (3) và (4) suy ra: $\hat{M A N} = \hat{A B C}$

Xét ΔAMN và ΔABC, ta có:

$\frac{A M}{A B} = \frac{A N}{B C}$ (chứng minh trên)

$\hat{M A N} = \hat{A B C}$ (chứng minh trên)

Vậy ΔMAN ∽ ΔABC (c.g.c).

Vậy ta luôn có: tam giác MAN đồng dạng với tam giác ABC.

Các bài giải bài tập sách bài tập Toán 8 (SBT Toán 8) khác:

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

Trang trước

Trang sau

on-tap-chuong-3-hinh-hoc.jsp

Giải bài tập lớp 8 sách mới các môn học