Cho biểu thức trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện x^2y^2 – 1 ≠ 0

Trang trước Trang sau

Bài 5 trang 123 vở thực hành Toán 8 Tập 2: Cho biểu thức $P = (\frac{x + y}{1 - x y} + \frac{x - y}{1 + x y}) : (1 + \frac{x^{2} + y^{2} + 2 x^{2} y^{2}}{1 - x^{2} y^{2}}),$ trong đó x và y là hai biến thỏa mãn điều kiện x²y² – 1 ≠ 0.

a) Tính mỗi tổng $A = \frac{x + y}{1 - x y} + \frac{x - y}{1 + x y}$ và $B = 1 + \frac{x^{2} + y^{2} + 2 x^{2} y^{2}}{1 - x^{2} y^{2}} .$

b) Từ kết quả câu a, hãy thu gọn P và giải thích tại sao giá trị của P không phụ thuộc vào giá trị của biến y.

c) Chứng minh đẳng thức $P = 1 - \frac{{(1 - x)}^{2}}{1 + x^{2}} .$

d) Sử dụng câu c, hãy tìm các giá trị của x và y sao cho P = 1.

Lời giải:

a) Ta có: $A = \frac{x + y}{1 - x y} + \frac{x - y}{1 + x y} = \frac{(x + y) (1 + x y) + (x - y) (1 - x y)}{(1 - x y) (1 + x y)}$

$= \frac{x + x^{2} y + x y^{2} + y + x - x^{2} y + x y^{2} - y}{1 - x^{2} y^{2}}$

$= \frac{2 x + 2 x y^{2}}{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{2 x (1 + y^{2})}{1 - x^{2} y^{2}} .$

$B = 1 + \frac{x^{2} + y^{2} + 2 x^{2} y^{2}}{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{1 - x^{2} y^{2} + x^{2} + y^{2} + 2 x^{2} y^{2}}{1 - x^{2} y^{2}}$

$= \frac{x^{2} + y^{2} + x^{2} y^{2} + 1}{1 - x^{2} y^{2}} = \frac{(1 + x^{2}) + y^{2} (1 + x^{2})}{1 - x^{2} y^{2}}$

$= \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{1 - x^{2} y^{2}} .$

b) Từ hai kết quả trên, ta có:

$P = A : B = \frac{2 x (1 + y^{2})}{1 - x^{2} y^{2}} : \frac{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})}{1 - x^{2} y^{2}}$

$= \frac{2 x (1 + x^{2})}{1 - x^{2} y^{2}} . \frac{1 - x^{2} y^{2}}{(1 + x^{2}) (1 + y^{2})} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} .$ (*)

Trong biểu thức (*), ta thấy không xuất hiện biến y, chứng tỏ giá trị của biểu thức P nếu xác định thì nó không phụ thuộc vào biến y.

c) Ta thấy:

$1 - \frac{{(1 - x)}^{2}}{1 + x^{2}} = \frac{1 + x^{2} - (1 - 2 x + x^{2})}{1 + x^{2}} = \frac{1 + x^{2} - 1 + 2 x - x^{2}}{1 + x^{2}} = \frac{2 x}{1 + x^{2}} .$

So sánh kết quả này với (*), ta suy ra $P = 1 - \frac{{(1 - x)}^{2}}{1 + x^{2}} .$

d) Cách 1. Từ kết quả câu c, ta có: P = 1 khi $\frac{{(1 - x)}^{2}}{1 + x^{2}} = 0.$ Điều này xảy ra khi hai biến x và y xác định, tức là nếu x = 1 và x²y² – 1 ≠ 0. Vậy các giá trị của x và y để P = 1 là x = 1 và y² ≠ 1 hay $y \neq \pm 1.$

Cách 2. Từ (*) ta có (với điều kiện x²y² – 1 ≠ 0): $P = \frac{2 x}{1 + x^{2}} = 1,$ hay 2x = 1 + x², tức là (x – 1)² = 0, hay x = 1.

Lời giải vở thực hành Toán 8 Bài tập ôn tập cuối năm hay khác:

Xem thêm các bài giải vở thực hành Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Trang trước Trang sau

Giải bài tập lớp 8 Kết nối tri thức khác