Trục căn thức ở mẫu lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Trục căn thức ở mẫu lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Trục căn thức ở mẫu.

1. Cách giải bài tập

• $\frac{A}{\sqrt{B}}=\frac{A\sqrt{B}}{B}$ với B > 0.

• $\frac{C}{\sqrt{A}+B}=\frac{C\left(\sqrt{A}-B\right)}{A-B^2}$ (A ≥ 0, A ≠ B²).

• $\frac{C}{\sqrt{A}-B}=\frac{C\left(\sqrt{A}+B\right)}{A-B^2}$(A ≥ 0, A ≠ B²).

• $\frac{C}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}=\frac{C\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)}{A-B}$ (A, B ≥ 0, A ≠ B).

• $\frac{C}{\sqrt{A}-\sqrt{B}}=\frac{C\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)}{A-B}$ (A, B ≥ 0, A ≠ B).

Chú ý: Để trục căn thức ở mẫu, bình thường ta nhân cả tử và mẫu của phân thức với lượng liên hợp của mẫu và cần các hằng đẳng thức sau:

(a – b)(a + b) = a² – b².

Các dạng liên hợp cơ bản thường gặp

• $\left(\sqrt{A}-\sqrt{B}\right)\left(\sqrt{A}+\sqrt{B}\right)=A-B$

• $\left(A-\sqrt{B}\right)\left(A+\sqrt{B}\right)=A^2-B$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Khử căn thức ở mẫu của các phân số

a) $\sqrt{\frac{7}{108}}$;

b) $\sqrt{\frac{10}{13}}$;

c) $\sqrt{\frac{5-2\sqrt{6}}{3}}$.

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{\frac{7}{108}}=\frac{\sqrt{7.108}}{108}=\frac{6\sqrt{21}}{108}=\frac{\sqrt{21}}{18}$.

b) $\sqrt{\frac{10}{13}}=\frac{\sqrt{10}.\sqrt{13}}{13}=\frac{\sqrt{130}}{13}$.

c) $\sqrt{\frac{5-2\sqrt{6}}{3}}=\frac{\sqrt{3{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2}}{3}$

$=\frac{\sqrt{3}\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}{3}=\frac{3-\sqrt{6}}{3}$.

Ví dụ 2. Khử mẫu của mỗi biểu thức dưới dấu căn bậc hai sau:

a) $\sqrt{\frac{5x^3}{49y}}$ (x ≥ 0, y > 0).

b) $7xy\sqrt{\frac{-3}{xy}}$ (x < 0, y > 0).

Hướng dẫn giải

a) $\sqrt{\frac{5x^3}{49y}}=\frac{x\sqrt{5xy}}{7y}$.

b) $7xy\sqrt{\frac{-3}{xy}}=7xy\frac{\sqrt{-3xy}}{xy}=7\sqrt{-3xy}$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{2-\sqrt{2}}$ ta được

A.7.

B.$\frac{\sqrt{14}}{2}$.

C.−7.

D.$-\frac{\sqrt{14}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$A=\frac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{2-\sqrt{2}}=\frac{\left(\sqrt{14}-\sqrt{7}\right)\left(2+\sqrt{2}\right)}{\left(2+\sqrt{2}\right)\left(2-\sqrt{2}\right)}$

$\frac{\sqrt{7}\left(\sqrt{2}-1\right)\left(2+\sqrt{2}\right)}{2}=\frac{\sqrt{7}\left(2\sqrt{2}+2-2-\sqrt{2}\right)}{2}=\frac{\sqrt{14}}{2}$

Bài 2. Rút gọn biểu thức $B=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}$ ta được

A.$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

B.$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$.

C.$\frac{-3-\sqrt{5}}{2}$.

D.$\frac{3\sqrt{5}}{2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$B=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{3+\sqrt{5}}}=\sqrt{\frac{{\left(3-\sqrt{5}\right)}^2}{\left(3+\sqrt{5}\right)\left(3-\sqrt{5}\right)}}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$.

Bài 3. Rút gọn biểu thức $B=\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}$ (a, b > 0) ta được

A.0.

B.1.

C.$\sqrt{ab}$.

D.$-\sqrt{ab}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$B=\frac{a\sqrt{b}+b\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}$

$B=\frac{\sqrt{ab}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\sqrt{ab}$

$B=\sqrt{ab}-\sqrt{ab}=0$.

Bài 4. Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$ (a, b ≥ 0, a ≠ b) ta được

A.$\frac{a+b}{a-b}$.

B.$\frac{a-b}{a+b}$.

C.1.

D.0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$A=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

$A=\frac{\sqrt{a}\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)-\sqrt{b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}$

$A=\frac{a-\sqrt{ab}-\sqrt{ba}+b}{a-b}=\frac{a+b}{a-b}$.

Bài 5. Kết quả của phép tính $A=\left(\frac{15}{\sqrt{6}+1}-\frac{4}{\sqrt{6}-2}-\frac{12}{3-\sqrt{6}}\right)\left(11+\sqrt{6}\right)$ là

A.$A=-52\sqrt{6}-227$.

B.$A=-52\sqrt{6}+227$.

C.$A=52\sqrt{6}-227$.

D.$A=52\sqrt{6}+227$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

$A=\left(\frac{15}{\sqrt{6}+1}-\frac{4}{\sqrt{6}-2}-\frac{12}{3-\sqrt{6}}\right)\left(11+\sqrt{6}\right)$

$A=\left[\frac{15\left(\sqrt{6}-1\right)}{\left(\sqrt{6}+1\right)\left(\sqrt{6}-1\right)}-\frac{4\left(\sqrt{6}+2\right)}{\left(\sqrt{6}-2\right)\left(\sqrt{6}+2\right)}-\frac{12\left(3+\sqrt{6}\right)}{\left(3-\sqrt{6}\right)\left(3+\sqrt{6}\right)}\right]\left(11+\sqrt{6}\right)$

$A=\left[\frac{15\left(\sqrt{6}-1\right)}{5}-\frac{4\left(\sqrt{6}+2\right)}{2}-\frac{12\left(3+\sqrt{6}\right)}{3}\right]\left(11+\sqrt{6}\right)$

$A=\left[3\left(\sqrt{6}-1\right)-2\left(\sqrt{6}+2\right)-4\left(3+\sqrt{6}\right)\right]\left(11+\sqrt{6}\right)$

$A=\left[3\sqrt{6}-3-2\sqrt{6}-4-12-4\sqrt{6}\right]\left(11+\sqrt{6}\right)$

$A=\left(-3\sqrt{6}-19\right)\left(11+\sqrt{6}\right)$

$A=-3\sqrt{6}.11-3.6-19.11-19\sqrt{6}$

$A=-52\sqrt{6}-227$.

Bài 6. Kết quả của biểu thức $A=\left(1-\frac{5+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right)\left(\frac{5-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}-1\right)$ là

A.8.

B.−4.

C.4.

D.2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$A=\left(1-\frac{5+\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right)\left(\frac{5-\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}-1\right)$

$A=\left(\frac{1+\sqrt{5}-5-\sqrt{5}}{1+\sqrt{5}}\right)\left(\frac{5-\sqrt{5}-1+\sqrt{5}}{1-\sqrt{5}}\right)$

$A=\frac{-4}{1+\sqrt{5}}.\frac{4}{1-\sqrt{5}}=\frac{-16}{\left(1+\sqrt{5}\right)\left(1-\sqrt{5}\right)}=\frac{-16}{-4}=4$.

Bài 7. Thực hiện phép tính $A=\left(\frac{2}{\sqrt{3}-1}+\frac{3}{\sqrt{3}-2}+\frac{15}{3-\sqrt{3}}\right).\frac{1}{\sqrt{3}+5}$ được kết quả là

A.−1.

B.1.

C.$-\frac{1}{2}.$

D.$\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

$A=\left(\frac{2}{\sqrt{3}-1}+\frac{3}{\sqrt{3}-2}+\frac{15}{3-\sqrt{3}}\right).\frac{1}{\sqrt{3}+5}$

$A=\left[\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}+\frac{3\left(\sqrt{3}+2\right)}{\left(\sqrt{3}-2\right)\left(\sqrt{3}+2\right)}+\frac{15\left(3+\sqrt{3}\right)}{\left(3-\sqrt{3}\right)\left(3+\sqrt{3}\right)}\right].\frac{1}{\sqrt{3}+5}$

$A=\left[\frac{2\left(\sqrt{3}+1\right)}{2}+\frac{3\left(\sqrt{3}+2\right)}{-1}+\frac{15\left(3+\sqrt{3}\right)}{6}\right].\frac{1}{\sqrt{3}+5}$

$A=\left[\sqrt{3}+1-3\left(\sqrt{3}+2\right)+\frac{5\left(3+\sqrt{3}\right)}{2}\right].\frac{1}{\sqrt{3}+5}$

$A=\left[-2\sqrt{3}-5+\frac{5\left(3+\sqrt{3}\right)}{2}\right].\frac{1}{\sqrt{3}+5}$

$A=\frac{-4\sqrt{3}-10+15+5\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{\sqrt{3}+5}$

$A=\frac{5+\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{\sqrt{3}+5}=\frac{1}{2}.$

Bài 8. Thực hiện phép tính $B=\left(\frac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right):\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$.

A.2.

B.−2.

C.${\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)}^2$.

D.0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$B=\left(\frac{\sqrt{14}-\sqrt{7}}{1-\sqrt{2}}+\frac{\sqrt{15}-\sqrt{5}}{1-\sqrt{3}}\right):\frac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$

$B=\left[\frac{\left(\sqrt{14}-\sqrt{7}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)+\left(\sqrt{15}-\sqrt{5}\right)\left(1-\sqrt{2}\right)}{\left(1-\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}\right].\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)$

$B=\left[\frac{\left(\sqrt{14}-\sqrt{7}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)+\sqrt{5}\left(\sqrt{3}-1\right)\left(1-\sqrt{2}\right)}{\left(1-\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}\right].\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)$

$$$B=\left[\frac{\left(\sqrt{14}-\sqrt{7}-\sqrt{5}+\sqrt{10}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}{\left(1-\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}\right].\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)$

$B=\frac{\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{2}-1\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}{\left(1-\sqrt{2}\right)\left(1-\sqrt{3}\right)}.\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)$

$B=-\left(\sqrt{7}-\sqrt{5}\right)\left(\sqrt{7}+\sqrt{5}\right)=-\left(7-5\right)=-2$.

Bài 9. Rút gọn biểu thức $B=\frac{\left(a\sqrt{b}+b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b}.\sqrt{\frac{ab+b^2-2\sqrt{a{b}^3}}{a\left(a+2\sqrt{b}\right)+b}}$

với (a, b > 0) được

A.a.

B.b.

C.0.

D. 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

$B=\frac{\left(a\sqrt{b}+b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b}.\sqrt{\frac{ab+b^2-2\sqrt{a{b}^3}}{a\left(a+2\sqrt{b}\right)+b}}$

$B=\frac{\left(a\sqrt{b}+b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b}.\sqrt{\frac{ab+b^2-2\sqrt{a{b}^3}}{a^2+2a\sqrt{b}+b}}$

$B=\frac{\left(a\sqrt{b}+b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b}.\sqrt{\frac{{\left(\sqrt{ab}-b\right)}^2}{{\left(a+\sqrt{b}\right)}^2}}$

$B=\frac{\left(a\sqrt{b}+b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b}.\frac{{\left(\sqrt{ab}-b\right)}^2}{{\left(a+\sqrt{b}\right)}^2}$

$B=\frac{\left(a\sqrt{b}+b\right)\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{a-b}.\frac{\left(\sqrt{ab}-b\right)}{\left(a+\sqrt{b}\right)}$

$B=\frac{\left(a\sqrt{b}+b\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}.\frac{\left(\sqrt{ab}-b\right)}{\left(a+\sqrt{b}\right)}=\frac{\sqrt{b}.\sqrt{b}.\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}=b$.

Bài 10. Rút gọn biểu thức $A=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$ ta được

A.0.

B.1.

C.4.

D.$2\sqrt{3}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

$A=\sqrt{\frac{2+\sqrt{3}}{2-\sqrt{3}}}+\sqrt{\frac{2-\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}}$

$A=\sqrt{\frac{{\left(2+\sqrt{3}\right)}^2}{\left(2-\sqrt{3}\right)\left(2+\sqrt{3}\right)}}+\sqrt{\frac{{\left(2-\sqrt{3}\right)}^2}{\left(2+\sqrt{3}\right)\left(2-\sqrt{3}\right)}}$

$A=\frac{2+\sqrt{3}}{1}+\frac{2-\sqrt{3}}{1}=2+\sqrt{3}+2-\sqrt{3}=4$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai
• Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị là số nguyên
• Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai
• Một số bài toán thực tế liên quan đến biểu thức có chứa căn thức bậc hai
• Tìm căn bậc ba của một số

---