Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị là số nguyên lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị là số nguyên lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị là số nguyên.

1. Cách giải bài tập

• Cho biểu thức $A=\frac{a}{cx+d}$ hoặc $A=\frac{a}{c\sqrt{x}+d}$ . Tìm x ∈ ℤ để A ∈ ℤ.

Phương pháp:

- Lập luận: A ∈ ℤ thì mẫu thức là Ư(a).

- Liệt kê Ư(a).

- Mẫu thức bằng Ư(a) tìm ra x.

Chú ý: Giá trị x ∈ ℤ tìm được phải thỏa mãn điều kiện của biểu thức rút gọn mới nhận.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho biểu thức $A=\left(\frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{3}{2\sqrt{x}+1}-\frac{5\sqrt{x}-7}{2x-3\sqrt{x}-2}\right):\frac{2\sqrt{x}+3}{5x-10\sqrt{x}}$

(x > 0, x ≠ 4).

a) Rút gọn biểu thức.

b) Tìm x sao cho A nhận giá trị là một số nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

$A=\left(\frac{2}{\sqrt{x}-2}+\frac{3}{2\sqrt{x}+1}-\frac{5\sqrt{x}-7}{2x-3\sqrt{x}-2}\right):\frac{2\sqrt{x}+3}{5x-10\sqrt{x}}$

$A=\left[\frac{2\left(2\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}+1\right)}+\frac{3\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}+1\right)}-\frac{5\sqrt{x}-7}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}+1\right)}\right].\frac{5x-10\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+3}$

$A=\left[\frac{4\sqrt{x}+2+3\sqrt{x}-6-5\sqrt{x}+7}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}+1\right)}\right].\frac{5\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{2\sqrt{x}+3}$

$A=\left[\frac{2\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}+1\right)}\right].\frac{5\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{2\sqrt{x}+3}$

$A=\left[\frac{2\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}+1\right)}\right].\frac{5\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{2\sqrt{x}+3}$

$A=\frac{5\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}$

b) Ta có: $\sqrt{x}$ > 0 với mọi x > 0, x ≠ 4 nên $A=\frac{5\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}$ > 0 với x > 0, x ≠ 4.

Ta có: $A=\frac{5\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}=\frac{5}{2}-\frac{5}{2\left(2\sqrt{x}+1\right)}<\frac{5}{2}$ với x > 0, x ≠ 4.

Do đó, 0 < A < $\frac{5}{2}$.

Để A nhận giá trị nguyên thì A = 1 hoặc A = 2.

Với A = 1, suy ra $\frac{5\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}=1$ hay $5\sqrt{x}=2\sqrt{x}+1$ suy ra $\sqrt{x}=\frac{1}{3}$ khi x = $\frac{1}{9}$ (thỏa mãn).

Với A = 2, suy ra $\frac{5\sqrt{x}}{2\sqrt{x}+1}=2$ hay $5\sqrt{x}=4\sqrt{x}+2$ suy ra $\sqrt{x}=2$ khi x = 4 (loại).

Vậy với x = $\frac{1}{9}$ thì A nhận giá trị nguyên.

Ví dụ 2. Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}$ và $B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\frac{4}{\sqrt{x}-4}\right):\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}$

(x ≥ 0, x ≠ 16). Hãy tìm các giá trị nguyên của x để biểu thức M = B(A – 1) là số nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0, x ≠ 16, ta có:

$B=\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+4}+\frac{4}{\sqrt{x}-4}\right):\frac{x+16}{\sqrt{x}+2}$

$B=\left(\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}+\frac{4\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}\right).\frac{\sqrt{x}+2}{x+16}$

$B=\frac{x-4\sqrt{x}+4\sqrt{x}+16}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(x+16\right)}$

$B=\frac{x+16}{\left(\sqrt{x}+4\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(x+16\right)}=\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}$

Ta có: M = B(A – 1)

= $\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}.\left[\frac{\sqrt{x}+4}{\sqrt{x}+2}-1\right]$

= $\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}.\frac{\sqrt{x}+4-\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}+2}$

= $\frac{\sqrt{x}+2}{x-16}.\frac{2}{\sqrt{x}+2}=\frac{2}{x-16}$

Để M = B(A – 1) nguyên, x nguyên thì x – 16 là ước của 2.

Mà Ư(2) = {−1; 1; 2; −2}.

• Với x – 16 = −1 thì x = 15 (thỏa mãn).

• Với x – 1$P=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-3}=\frac{1}{2-\frac{3}{\sqrt{x}}}$6 = 1 thì x = 17 (thỏa mãn).

• Với x – 16 = −2 thì x = 14 (thỏa mãn).

• Với x – 16 = 2 thì x = 18 (thỏa mãn).

Kết hợp điều kiện để B(A – 1) nguyên thì x ∈ {14; 15; 17; 18}.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{x}}$ và $B=\frac{2}{\sqrt{x}-2}$ với x > 0, x ≠ 4 và

x ≠ $\frac{9}{4}$. Tính giá trị nguyên của x để P = $\frac{B}{A}$ nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, x ≠ , ta có:

$A=\frac{\sqrt{x}}{x-2\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{x}}$

$A=\frac{\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\sqrt{x}}+\frac{3\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{4\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}$

Có P = $\frac{B}{A}$ =$\frac{2}{\sqrt{x}-2}:\frac{4\sqrt{x}-6}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{2}{\sqrt{x}-2}.\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{4\sqrt{x}-6}=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-3}$

Ta có: $P=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-3}=\frac{1}{2-\frac{3}{\sqrt{x}}}$ (vì x > 0 nên $\sqrt{x}>0$).

P nhận giá trị nguyên khi và chỉ khi $\frac{1}{2-\frac{3}{\sqrt{x}}}$ nguyên

hay $2-\frac{3}{\sqrt{x}}$ ∈ Ư(1) = {1; −1}.

Khi đó P = 1 hoặc P = −1.

Với P = 1 hay $2-\frac{3}{\sqrt{x}}$ = 1 khi $\sqrt{x}$ = 3 suy ra x = 9 (thỏa mãn).

Với P = −1 hay $2-\frac{3}{\sqrt{x}}=-1$ khi $\sqrt{x}=1$ suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {1; 9} thì P nhận giá trị nguyên.

Bài 2. Cho biểu thức $A=\frac{x-7}{\sqrt{x}}$ và $B=\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}+\frac{2x-\sqrt{x}+2}{x-4}$

với x > 0, x ≠ 4. Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức P = A.B nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

$B=\frac{1}{\sqrt{x}+2}+\frac{\sqrt{x}}{2-\sqrt{x}}+\frac{2x-\sqrt{x}+2}{x-4}$

$B=\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{2x-\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$B=\frac{\sqrt{x}-2-x-2\sqrt{x}+2x-\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$B=\frac{x-2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$

Vậy B = $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}$ với x > 0, x ≠ 4.

Ta có: P = A.B = $\frac{x-7}{\sqrt{x}}.\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2}=\frac{x-7}{\sqrt{x}+2}$

Xét P = 0 khi $\frac{x-7}{\sqrt{x}+2}=0$ suy ra x – 7 = 0 (thỏa mãn điều kiện).

Xét P ≠ 0.

TH1: x ∈ ℤ; x ≠ 7; $\sqrt{x}$ là số vô tỉ thì P ∉ ℤ (loại).

TH2: x ∈ ℤ; $\sqrt{x}$ ∈ ℤ.

Ta có: $P=\frac{x-4-3}{\sqrt{x}+2}=\frac{x-4}{\sqrt{x}+2}-\frac{3}{\sqrt{x}+2}=\sqrt{x}-2-\frac{3}{\sqrt{x}+2}$

Để P ∈ ℤ thì $\sqrt{x}-2-\frac{3}{\sqrt{x}+2}$ ∈ ℤ suy ra $\frac{3}{\sqrt{x}+2}$ ∈ ℤ.

Do đó, $\left(\sqrt{x}+2\right)\in$ Ư(3).

Mà Ư(3) = {1; 3; −1; −3}.

Do $\sqrt{x}+2$ ≥ 2 nên $\sqrt{x}+2$ = 3 suy ra $\sqrt{x}=1$ suy ra x = 1 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {1; 7} thì P có giá trị nguyên.

Bài 3. Cho biểu thức $A=\frac{3\sqrt{x}-21}{x-9}+\frac{2}{\sqrt{x}-3}$ với x ≥ 0; x ≠ 9. Tìm tất cả các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 9, ta có:

$A=\frac{3\sqrt{x}-21}{x-9}+\frac{2}{\sqrt{x}-3}$

$A=\frac{3\sqrt{x}-21}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{2\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

$A=\frac{3\sqrt{x}-21+2\sqrt{x}+6}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

$A=\frac{5\sqrt{x}-15}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{5\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{5}{\sqrt{x}+3}$

Để A nhận giá trị nguyên thì $\frac{5}{\sqrt{x}+3}$ nguyên.

Suy ra $\sqrt{x}+3$ là Ư(5).

Mà Ư(5) = {1; 5; −1; −5}.

Nhận thấy $\sqrt{x}+3$ ≥ 3 với vọi x ≥ 0; x ≠ 9.

Do đó, $\sqrt{x}+3$ = 5, suy ra $\sqrt{x}$ = 2 do đó, x = 4 (thỏa mãn).

Vậy x = 4 thì A nhận giá trị nguyên.

Bài 4. Cho biểu thức $M=\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$ với x ≥ 0; x ≠ 4;

x ≠ 9.

a) Rút gọn A.

b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, ta có:

$M=\frac{2\sqrt{x}-9}{x-5\sqrt{x}+6}-\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\frac{2\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}$

$M=\frac{2\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{\left(2\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$M=\frac{2\sqrt{x}-9}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{x-9}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{2x-3\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$M=\frac{2\sqrt{x}-9-x+9+2x-3\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$M=\frac{x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$M=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$

Với x ≥ 0; x ≠ 4; x ≠ 9, M = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}=1+\frac{4}{\sqrt{x}-3}$.

Để M nguyên thì $\frac{4}{\sqrt{x}-3}$ nguyên hay $\sqrt{x}-3$ là Ư(4).

Mà Ư(4) = {1; 4; −1; −4; 2; −2}.

• Với $\sqrt{x}-3$ = 1 suy ra x = 16 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt{x}-3$ = −1 suy ra x = 4 (loại).

• Với $\sqrt{x}-3$ = 2 suy ra x = 25 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt{x}-3$ = −2 suy ra x = 1 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt{x}-3$ = 4 suy ra x = 49 (thỏa mãn).

• Với $\sqrt{x}-3$ = −4 suy ra = −1 (loại).

Vậy để A nhận giá trị nguyên thì x ∈ {1; 25; 16; 49}.

Bài 5. Cho biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+15}{x-9}-\frac{x}{x-3\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+3}$ với x > 0, x ≠ 9. Chứng minh rằng không tồn tại giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 9, ta có:

$A=\frac{\sqrt{x}+15}{x-9}-\frac{x}{x-3\sqrt{x}}+\frac{2\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}+3}$

$A=\frac{\left(\sqrt{x}+15\right)\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{x\left(\sqrt{x}+3\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{\left(2\sqrt{x}+5\right)\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

$A=\frac{x+15\sqrt{x}-x\sqrt{x}-3x+2x\sqrt{x}+5x-6x-15\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$A=\frac{x\sqrt{x}-3x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{x\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$

Với x > 0, x ≠ 9 có $A=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$ > 0.

Lại có: A = $1-\frac{3}{\sqrt{x+3}}<1$.

Do đó 0 < A < 1.

Vậy không tồn tại giá trị của x để A nhận giá trị là số nguyên.

Bài 6. Cho biểu thức $A=\frac{9-3\sqrt{x}}{x-4}$ và $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+4}{x-\sqrt{x}-2}$

với x ≥ 0 và x ≠ 4.

a) Rút gọn biểu thức B.

b) Tìm x ∈ ℝ để biểu thức P = A : B nhận giá trị là một số nguyên âm.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0 và x ≠ 4, ta có:

$B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{1-\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}+4}{x-\sqrt{x}-2}$

$B=\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(1-\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}-\frac{\sqrt{x}+4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$B=\frac{x-2\sqrt{x}+1-x-\sqrt{x}-4}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}$

$B=\frac{-3\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{-3\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}=\frac{-3}{\sqrt{x}-2}$

Ta có: P = A : B = $\frac{9-3\sqrt{x}}{x-4}:\frac{\left(-3\right)}{\sqrt{x}-2}=\frac{3\left(3-\sqrt{x}\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}.\frac{\sqrt{x}-2}{\left(-3\right)}=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}$

Có $P=\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+2}=1-\frac{5}{\sqrt{x}+2}$.

Do x ≥ 0 suy ra 0 < $\frac{5}{\sqrt{x}+2}$ ≤ $\frac{5}{2}$.

Để P nguyên thì $\frac{5}{\sqrt{x}+2}$ nhận giá trị nguyên.

Do đó P = 1 hoặc P = 2.

Với P = 1 thì $\frac{5}{\sqrt{x}+2}=1$ hay $\sqrt{x}+2$ = 5 suy ra x = 9 .

Với P = 2 thì $\frac{5}{\sqrt{x}+2}=2$ hay $\sqrt{x}+2=\frac{5}{2}$ suy ra x = $\frac{1}{4}$.

Thử lại:

Khi x = 9 thì P = 0 (loại).

Khi x = $\frac{1}{4}$ thì P = −1 (thỏa mãn).

Vậy x = $\frac{1}{4}$.

Bài 7. Cho biểu thức $A=\frac{x-3}{\sqrt{x}+1}$ và $B=\frac{x-\sqrt{x}-7}{x+\sqrt{x}-6}+\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}-3}{2-\sqrt{x}}$

với x ≥ 0; x ≠ 4.

a) Rút gọn B.

b) Tìm giá trị nguyên của x để M = A.B nhận giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

$B=\frac{x-\sqrt{x}-7}{x+\sqrt{x}-6}+\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}-3}{2-\sqrt{x}}$

$B=\frac{x-\sqrt{x}-7}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

$B=\frac{x-\sqrt{x}-7+x-4-x+9}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}$

$B=\frac{x-\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}$

b) Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

M = A.B = $\frac{x-3}{\sqrt{x}+1}$.$\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}=\frac{x-3}{\sqrt{x}+3}$ .

Hay $M=\frac{x-3}{\sqrt{x}+3}=\frac{x-9+6}{\sqrt{x}+3}=\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)+6}{\sqrt{x}+3}=\sqrt{x}-3+\frac{6}{\sqrt{x}+3}$.

Xét x = 3 thì M = 0 (thỏa mãn). Vậy x = 3 thỏa mãn.

Xét x ≠ 3, x ∈ ℤ nhưng $\sqrt{x}\notin \mathbb{Z}$. Do đó M .

Xét x ∈ ℤ, $\sqrt{x}\in \mathbb{Z}$ suy ra M ∈ ℤ:

Suy ra $\frac{6}{\sqrt{x}+3}$ là số nguyên hay $\sqrt{x}+3$ là Ư(6).

Mà Ư(6) = {1; 2; 3; 6; −1; −2; −3; −6}.

Nhận thấy $\sqrt{x}+3\ge 3$ với mọi x ≥ 0; x ≠ 4.

Suy ra $\sqrt{x}+3=3$ hoặc $\sqrt{x}+3=6$ .

Do đó, x = 0 (thỏa mãn) hoặc x = 9 (thỏa mãn).

Vậy x ∈ {0; 3; 9} thì M nhận giá trị nguyên.

Bài 8. Cho biểu thức $A=\frac{15\sqrt{x}-19}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}$ với x ≥ 0; x ≠ 1.

a) Rút gọn A.

b) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

a) Với x ≥ 0; x ≠ 1, ta có:

$A=\frac{15\sqrt{x}-19}{x+2\sqrt{x}-3}-\frac{3\sqrt{x}-2}{1-\sqrt{x}}-\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}+3}$

$A=\frac{15\sqrt{x}-19}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}+\frac{\left(3\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}-\frac{\left(2\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$

$A=\frac{15\sqrt{x}-19+3x+7\sqrt{x}-6-2x-\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}$

$A=\frac{x+21\sqrt{x}-22}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+22\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-1\right)}=\frac{\sqrt{x}+22}{\sqrt{x}+3}$

b) Ta có: $A=\frac{\sqrt{x}+22}{\sqrt{x}+3}=1+\frac{19}{\sqrt{x}+3}$ với x ≥ 0; x ≠ 1.

Để A nhận giá trị nguyên thì $\frac{19}{\sqrt{x}+3}$ nguyên.

Suy ra $\sqrt{x}+3$ là Ư(19).

Mà Ư(19) = {1; 19; −1; −19}.

Nhận thấy $\sqrt{x}+3\ge 3$ với x ≥ 0; x ≠ 1.

Suy ra $\sqrt{x}+3$ = 19 hay x = 256 (thỏa mãn).

Vậy x = 256 thì A nhận giá trị nguyên.

Bài 9. Cho hai biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}$ và $B=\frac{\sqrt{x}-11}{x-\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}$ với x ≥ 0; x ≠ 4. Tìm x nguyên để A.B có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 4, ta có:

$B=\frac{\sqrt{x}-11}{x-\sqrt{x}-2}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}+\frac{2\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}-2}$

$B=\frac{\sqrt{x}-11}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}-\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}+\frac{\left(2\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$

$B=\frac{\sqrt{x}-11-x+2\sqrt{x}+2x+\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}$

$B=\frac{x+4\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+6\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+1}$.

Ta có: P = A.B = $\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}.\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{x}+6}{\sqrt{x}+2}=1+\frac{4}{\sqrt{x}+2}$.

Để P nhận giá trị nguyên thì $\frac{4}{\sqrt{x}+2}$ nguyên.

Suy ra $\sqrt{x}+2$ là ước của 4.

Nhận thấy $\sqrt{x}+2\ge 2$ với x ≥ 0; x ≠ 4 nên $\sqrt{x}+2$ = 2 hoặc $\sqrt{x}+2$ = 4.

Suy ra x = 0 (thỏa mãn) hoặc x = 4 (loại).

Vậy x = 0 thì P = A.B nhận giá trị nguyên.

Bài 10. Cho các biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-3}$ và $B=\frac{4}{\sqrt{x}+3}+\frac{2x-\sqrt{x}-13}{x-9}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$ với x ≥ 0; x ≠ 9. Tính giá trị của x nguyên nhỏ nhất để P = $\frac{B}{A}$ có giá trị nguyên.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0; x ≠ 9, ta có:

$B=\frac{4}{\sqrt{x}+3}+\frac{2x-\sqrt{x}-13}{x-9}-\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}$

$B=\frac{4\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{2x-\sqrt{x}-13}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$B=\frac{4\sqrt{x}-12+2x-\sqrt{x}-13-x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$B=\frac{x-25}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

Ta có: P = $\frac{B}{A}$ = $\frac{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$ : $\frac{\sqrt{x}+5}{\sqrt{x}-3}$

= $\frac{\left(\sqrt{x}+5\right)\left(\sqrt{x}-5\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$ . $\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+5}=\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+3}$ .

Ta có: P = $\frac{\sqrt{x}-5}{\sqrt{x}+3}=1-\frac{8}{\sqrt{x}+3}$.

Để P đạt giá trị nguyên thì $\frac{8}{\sqrt{x}+3}$ nhận giá trị nguyên.

Suy ra $\sqrt{x}+3$ là Ư(8).

Nhận thấy $\sqrt{x}+3\ge 3$ với x ≥ 0; x ≠ 9.

Do đó $\sqrt{x}+3\in \text{{}4;8\}$,

Với $\sqrt{x}+3$ = 4 thì x = 1 (thỏa mãn).

Với $\sqrt{x}+3$ = 8 thì x = 25 (thỏa mãn).

Vậy giá trị x nguyên nhỏ nhất để P nhận giá trị nguyên là x = 1.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai
• Một số bài toán thực tế liên quan đến biểu thức có chứa căn thức bậc hai
• Tìm căn bậc ba của một số
• So sánh hai căn bậc ba
• Tính giá trị biểu thức có chứa căn bậc ba tại giá trị cho trước của ẩn số

---