Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai.

1. Cách giải bài tập

• Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta có thể:

- Thực hiện các phép biến đổi đơn giản các căn thức bậc hai nhằm làm xuất hiện các căn thức đồng dạng.

- Phối hợp thực hiện các phép tính với các biểu thức có dạng phân thức mà tử và mẫu có chứa căn thức bậc hai theo quy tắc thực hiện các phép tính về phân thức đại số.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức $P=\left(1+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}-1}$ (x ≥ 0, x ≠ 1).

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0, ta có:

$P=\left(1+\frac{\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}\right):\frac{\sqrt{x}+1}{x\sqrt{x}-1}$

$P=\frac{x+\sqrt{x}+1+\sqrt{x}}{x+\sqrt{x}+1}.\frac{x\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}$

$P=\frac{x+2\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}+1}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}$

$P=\frac{{\left(\sqrt{x}+1\right)}^2}{x+\sqrt{x}+1}.\frac{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}+1}$

$P=\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}.\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)$

$P=\frac{\left(x-1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}{x+\sqrt{x}+1}$

Ví dụ 2. Rút gọn biểu thức $A=\left(\frac{x+3}{x-9}+\frac{1}{\sqrt{x}+3}\right):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$ (x ≥ 0, x ≠ 9).

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0, x ≠ 9, ta có:

$A=\left(\frac{x+3}{x-9}+\frac{1}{\sqrt{x}+3}\right):\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$

$A=\left(\frac{\left(x+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right).\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}$

$A=\frac{x+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}.\frac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}}$

$A=\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}.$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Rút gọn biểu thức $A=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right).\frac{x-4}{\sqrt{x}}$ (x > 0, x ≠ 4).

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 4, ta có:

$A=\left(\frac{1}{\sqrt{x}-2}+\frac{1}{\sqrt{x}+2}\right).\frac{x-4}{\sqrt{x}}$

$A=\left(\frac{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\right).\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}}$

$A=\frac{\left(\sqrt{x}+2+\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}}$

$A=\frac{2\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}.\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}}=2$.

Vậy với x > 0, x ≠ 4 thì A = 2.

Bài 2. Rút gọn biểu thức $A=\left(\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}+\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\right).\left(1-\frac{2}{a+1}\right)$(a ≥ 0, a ≠ 1).

Hướng dẫn giải

Với a ≥ 0, a ≠ 1, ta có:

$A=\left(\frac{\sqrt{a}-1}{\sqrt{a}+1}+\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a}-1}\right).\left(1-\frac{2}{a+1}\right)$

$A=\left(\frac{{\left(\sqrt{a}-1\right)}^2}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}+\frac{{\left(\sqrt{a}+1\right)}^2}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}\right).\frac{a-1}{a+1}$

$A=\frac{\left(a-2\sqrt{a}+1+a+2\sqrt{a}+1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\left(a-1\right)}{\left(a+1\right)}$

$A=\frac{2\left(a+1\right)}{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}.\frac{\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{a}-1\right)}{\left(a+1\right)}=2$.

Vậy với a ≥ 0, a ≠ 1 thì a = 2.

Bài 3. Rút gọn biểu thức $A=\left(\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}+2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-2}\right).\left(\sqrt{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}\right)$ (a > 0, a ≠ 4).

Hướng dẫn giải

Với a > 0, a ≠ 4, ta có:

$A=\left(\frac{\sqrt{a}-2}{\sqrt{a}+2}-\frac{\sqrt{a}+2}{\sqrt{a}-2}\right).\left(\sqrt{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}\right)$

$A=\left[\frac{{\left(\sqrt{a}-2\right)}^2}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}-\frac{{\left(\sqrt{a}+2\right)}^2}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}\right].\left(\frac{a-2}{\sqrt{a}}\right)$

$A=\frac{{\left(\sqrt{a}-2\right)}^2-{\left(\sqrt{a}+2\right)}^2}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}.\left(\frac{a-2}{\sqrt{a}}\right)$

$A=\frac{\left(\sqrt{a}-2-\sqrt{a}-2\right)\left(\sqrt{a}-2+\sqrt{a}+2\right)}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}.\left(\frac{a-2}{\sqrt{a}}\right)$

$A=\frac{-4.2\sqrt{a}}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}.\left(\frac{a-2}{\sqrt{a}}\right)$

$A=\frac{-8\left(a-2\right)}{\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-2\right)}$.

Bài 4. Rút gọn biểu thức $A=\frac{5\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}+\frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\frac{x+2\sqrt{x}-8}{x-4}$ (x ≥ 0, x ≠ 4).

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0, x ≠ 4, ta có:

$A=\frac{5\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-2}+\frac{3\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}-\frac{x+2\sqrt{x}-8}{x-4}$

$A=\frac{\left(5\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{\left(3\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{x+2\sqrt{x}-8}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$A=\frac{5x+7\sqrt{x}-6}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}+\frac{3x-5\sqrt{x}-2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{x+2\sqrt{x}-8}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$A=\frac{5x+7\sqrt{x}-6+3x-5\sqrt{x}-2-x-2\sqrt{x}+8}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$A=\frac{7x}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$.

Bài 5. Rút gọn biểu thức $A=\frac{5-5\sqrt{x}}{x-16}-\frac{2}{4-\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{x}+4}$ (x ≥ 0, x ≠ 16).

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0, x ≠ 16, ta có:

$A=\frac{5-5\sqrt{x}}{x-16}-\frac{2}{4-\sqrt{x}}+\frac{3}{\sqrt{x}+4}$

$A=\frac{5-5\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}+\frac{2\left(\sqrt{x}+4\right)}{\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}+\frac{3\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}$

$A=\frac{5-5\sqrt{x}+2\sqrt{x}+8+3\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}$

$A=\frac{1}{\left(\sqrt{x}-4\right)\left(\sqrt{x}+4\right)}=\frac{1}{x-16}$

Bài 6. Rút gọn biểu thức $A=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-3}+\frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}+3}+\frac{15-4\sqrt{x}}{9-4x}$ (x ≥ 0, x ≠ $\frac{9}{4}$).

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0, x ≠ $\frac{9}{4}$, ta có:

$A=\frac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x}-3}+\frac{\sqrt{x}-2}{2\sqrt{x}+3}+\frac{15-4\sqrt{x}}{9-4x}$

$A=\frac{\sqrt{x}\left(2\sqrt{x}+3\right)}{\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(2\sqrt{x}+3\right)}+\frac{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(2\sqrt{x}-3\right)}{\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(2\sqrt{x}+3\right)}-\frac{15-4\sqrt{x}}{\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(2\sqrt{x}+3\right)}$

$A=\frac{2x+3\sqrt{x}}{\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(2\sqrt{x}+3\right)}+\frac{2x-7\sqrt{x}+6}{\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(2\sqrt{x}+3\right)}-\frac{15-4\sqrt{x}}{\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(2\sqrt{x}+3\right)}$

$A=\frac{2x+3\sqrt{x}+2x-7\sqrt{x}+6-15+4\sqrt{x}}{\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(2\sqrt{x}+3\right)}$

$A=\frac{4x-9}{\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(2\sqrt{x}+3\right)}$

$A=\frac{\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(2\sqrt{x}+3\right)}{\left(2\sqrt{x}-3\right)\left(2\sqrt{x}+3\right)}=1$

Vậy với x ≥ 0, x ≠ $\frac{9}{4}$, thì A = 1.

Bài 7. Cho biểu thức $A=\frac{x-2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}$ và $B=\frac{2x+\sqrt{x}-4}{x+2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}$ với x > 0. Rút gọn biểu thức $P=\frac{A}{B}$.

Hướng dẫn giải

Với x > 0, ta có:

$B=\frac{2x+\sqrt{x}-4}{x+2\sqrt{x}}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}$

$B=\frac{2x+\sqrt{x}-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}-\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$B=\frac{2x+\sqrt{x}-4-x-\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$B=\frac{x-4}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}$

$B=\frac{\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}=\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$.

Ta có: $P=\frac{A}{B}$

Suy ra P = $\frac{x-2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}$: $\frac{\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}}$ = $\frac{x-2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}}$.$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-2}$ = $\frac{x-2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}$.

Vậy với x > 0 thì P = $\frac{x-2\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-2}$.

Bài 8. Rút gọn biểu thức $B=\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}+\frac{\sqrt{x}+3}{4-\sqrt{x}}-\frac{x-6\sqrt{x}}{x-7\sqrt{x}+12}$ với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 16.

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 16, ta có:

$B=\frac{2\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-3}+\frac{\sqrt{x}+3}{4-\sqrt{x}}-\frac{x-6\sqrt{x}}{x-7\sqrt{x}+12}$

$B=\frac{\left(2\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}-\frac{x-6\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}$

$B=\frac{2x-5\sqrt{x}-12}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}-\frac{x-9}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}-\frac{x-6\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}$

$B=\frac{2x-5\sqrt{x}-12-x+9-x+6\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}$

$B=\frac{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-4\right)}=\frac{1}{\sqrt{x}-4}$

Vậy với x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 16 thì B = $\frac{1}{\sqrt{x}-4}$.

Bài 9. Rút gọn biểu thức $B=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}-\frac{7\sqrt{x}+3}{9-x}$ (x > 0, x ≠ 9).

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 9, ta có:

$B=\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}-\frac{7\sqrt{x}+3}{9-x}$

$B=\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{7\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$B=\frac{2x-6\sqrt{x}-x-4\sqrt{x}-3+7\sqrt{x}+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$B=\frac{x-3\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{\left(\sqrt{x}-3\right)\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}$

Bài 10. Rút gọn biểu thức $A=\left(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{3x+3}{9-x}\right):\left(\frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-1\right)$

(x > 0, x ≠ 9).

Hướng dẫn giải

Với x > 0, x ≠ 9, ta có:

$A=\left(\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{3x+3}{9-x}\right):\left(\frac{2\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-3}-1\right)$

$A=\left(\frac{2\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\frac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}-\frac{3x+3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right):\left(\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}\right)$

$A=\left(\frac{2x-6\sqrt{x}+x+3\sqrt{x}-3x-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right).\left(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\right)$

$A=\left(\frac{-3\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right).\left(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\right)$

$A=\left(\frac{-3\left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\right).\left(\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}+1}\right)$

$A=\frac{-3}{\sqrt{x}+3}$.

Vậy với x > 0, x ≠ 9 thì $A=\frac{-3}{\sqrt{x}+3}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tìm giá trị x để biểu thức đạt giá trị là số nguyên
• Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa căn bậc hai
• Một số bài toán thực tế liên quan đến biểu thức có chứa căn thức bậc hai
• Tìm căn bậc ba của một số
• So sánh hai căn bậc ba

---