Tìm điều kiện để căn thức bậc hai có nghĩa lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tìm điều kiện để căn thức bậc hai có nghĩa lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm điều kiện để căn thức bậc hai có nghĩa.

1. Cách giải bài tập

• Căn thức bậc hai là biểu thức có dạng $\sqrt{A}$, trong đó A là một biểu thức đại số. A được gọi là biểu thức lấy căn hoặc biểu thức dưới dấu căn.

• $\sqrt{A}$ xác định khi A lấy giá trị không âm và ta thường viết là A ≥ 0.

Ta nói A ≥ 0 là điều kiện xác định (hay điều kiện có nghĩa) của $\sqrt{A}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Xác định điều kiện để các căn thức dưới đây có nghĩa:

a) $A={\left(\sqrt{1-x}\right)}^2$;

b) $B=\sqrt{x^2-2x+3}$.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của $A={\left(\sqrt{1-x}\right)}^2$ là 1 – x ≥ 0 hay x ≤ 1.

b) Điều kiện xác định của $B=\sqrt{x^2-2x+3}$ là x² – 2x + 3 ≥ 0

hay (x – 1)² + 2 ≥ 0 (luôn đúng với mọi x ∈ ℝ).

Vậy điều kiện xác định của biểu thức B là x ∈ ℝ.

Ví dụ 2. Tìm tập xác định của các căn thức sau:

a) $C=\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}$;

b) $D=\sqrt{\frac{1+x}{3-x}}$;

c) $E=\frac{1}{\sqrt{x^2-4x+4}}$.

Hướng dẫn giải

a) Điều kiện xác định của $C=\sqrt{\left(x-1\right)\left(x-3\right)}$ là (x – 1)(x – 3) ≥ 0 .

TH1: x – 1 ≥ 0 và x – 3 ≥ 0.

Suy ra x ≥ 3.

TH2: x – 1 ≤ 0 và x – 3 ≤ 0

Suy ra x ≤ 1.

Vậy x ≥ 3 hoặc x ≤ 1 là điều kiện xác định của biểu thức C.

b) Điện kiện xác định của $D=\sqrt{\frac{1+x}{3-x}}$ là $\frac{1+x}{3-x}\ge 0$.

TH1: 1 + x ≥ 0 và 3 – x > 0. Suy ra −1 ≤ x < 3.

TH2: 1 + x ≤ 0 và 3 – x < 0. Suy ra 3 < x ≤ −1 (vô lí).

Vậy −1 ≤ x < 3 là điều kiện xác định của D.

c) $E=\frac{1}{\sqrt{x^2-4x+4}}$

Điều kiện xác định của biểu thức $E=\frac{1}{\sqrt{x^2-4x+4}}$ là x² – 4x + 4 > 0.

Suy ra (x – 2)² > 0 (luôn đúng với x ≠ 2).

Vậy điều kiện xác định của biểu thức E là x ≠ 2.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Điều kiện xác định của biểu thức $A=\sqrt{{\left(1-x\right)}^2}-\sqrt{{\left(x+2\right)}^2}$ là

A. −2 < x < 1.

B. −2 ≤ x ≤ 1.

C. x ≥ 1.

D. x ∈ ℝ.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định của biểu thức A là

(1 – x)² ≥ 0 (luôn đúng) và (x + 2)² ≥ 0 (luôn đúng).

Vậy biểu thức A xác định với mọi x ∈ ℝ.

Bài 2. Điều kiện xác định của biểu thức $A=\sqrt{x^2-2x+1}$ là

A. x ∈ ℝ.

B. x ≠ 1.

C.x > 1.

D. x ≥ 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định của biểu thức A là x² – 2x + 1 ≥ 0 hay (x – 1)² ≥ 0 (luôn đúng với mọi x ∈ ℝ).

Vậy biểu thức A xác định với mọi x ∈ ℝ.

Bài 3. Điều kiện xác định của biểu thức $A=\frac{2\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3}$ là

A. x ∈ ℝ.

B. x ≠ 0.

C.x > 0.

D. x ≥ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

• $\sqrt{x}$ xác định khi x ≥ 0.

• $\sqrt{x}+3\ne 0$ (luôn đúng với mọi x ≥ 0).

Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là x ≥ 0.

Bài 4. Điều kiện xác định của biểu thức $B=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}+\frac{2\sqrt{x}-24}{x-9}$ là

A. x ∈ ℝ.

B. x ≠ 3.

C.x > 0, x ≠ 9.

D. x ≥ 0, x ≠ 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

• $\sqrt{x}$ xác định khi x ≥ 0.

• $\sqrt{x}-3\ne 0$ hay $\sqrt{x}\ne 3$ suy ra x ≠ 9.

• x – 9 ≠ 0 suy ra x ≠ 9.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức là x ≥ 0 và x ≠ 9.

Bài 5. Căn thức nào dưới đây có điều kiện xác định với mọi a ∈ ℝ?

A. $P=\frac{2\sqrt{a}}{\sqrt{a}+2}$.

B. $P=\frac{\sqrt{a}+1}{\sqrt{a^2}+1}$.

C. $P=\frac{2a+\sqrt{8}}{\sqrt{a^2+1}}$.

D. $P=\frac{2\sqrt{a}-4}{\sqrt{a^2+1}-2}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nhận thấy biểu thức $P=\frac{2a+\sqrt{8}}{\sqrt{a^2+1}}$ luôn xác định với mọi a ∈ ℝ vì $\sqrt{a^2+1}$ luôn xác định với mọi a ∈ ℝ.

Bài 6. Điều kiện xác định của biểu thức $A=\frac{3\sqrt{x}+x}{9-x}$ là

A. x ∈ ℝ.

B. x ≠ 3.

C.x > 0, x ≠ 9.

D. x ≥ 0, x ≠ 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có:

• $\sqrt{x}$ xác định khi x ≥ 0.

• 9 – x ≠ 0 khi x ≠ 9.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức A là x ≥ 0 và x ≠ 9.

Bài 7. Điều kiện xác định của biểu thức $B=\frac{x-9}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(1-\sqrt{x}\right)}+\frac{\sqrt{x}-3}{\sqrt{x}-1}-\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-3}$ là

A. x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 1.

B. x > 0, x ≠ 1.

C.x > 0, x ≠ 9.

D. x ≥ 0, x ≠ 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với mọi x ≥ 0, ta có:

• $\sqrt{x}+3$ ≠ 0 suy ra $\sqrt{x}\ne -3$ (luôn đúng với mọi x ≥ 0).

• $1-\sqrt{x}\ne 0$ hay $\sqrt{x}\ne 1$ suy ra x ≠ 1.

• $\sqrt{x}-3\ne 0$ hay $\sqrt{x}\ne 3$ suy ra x ≠ 9.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức B là x ≥ 0, x ≠ 9, x ≠ 4.

Bài 8. Điều kiện xác định của biểu thức

$C=\left(\frac{2\sqrt{x}+x}{x\sqrt{x}-1}-\frac{1}{\sqrt{x}-1}\right):\left(1-\frac{\sqrt{x}+2}{x+\sqrt{x}+1}\right)$ là

A. x > 0, x ≠ 1.

B. x ≥ 0, x ≠ 1.

C. x > 1.

D. x ≥ 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với mọi x ≥ 0, ta có:

• $\sqrt{x}-1\ne 0$ hay $\sqrt{x}\ne 1$ suy ra x ≠ 1.

• x + $\sqrt{x}+1\ne 0$ hay ${\left(\sqrt{x}+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}\ne 0$ (luôn đúng với mọi x ≥ 0).

• $x\sqrt{x}-1\ne 0$ hay $\left(\sqrt{x}-1\right)\left(x+\sqrt{x}+1\right)\ne 0$ suy ra x ≠ 1.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức C là x ≥ 0 và x ≠ 1.

Bài 9. Điều kiện xác định của căn thức $Q=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-1}+\frac{1}{\sqrt{a}+2}-\frac{3\sqrt{a}}{a+\sqrt{a}-2}$ là

A. a > 0, a ≠ 1.

B. a ≥ 0, a ≠ 1.

C. a > 1.

D. a ≥ 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Với mọi a ≥ 0, ta có:

• $\sqrt{a}-1\ne 0$ hay $\sqrt{a}\ne 1$ suy ra $a\ne 1$.

• $\sqrt{a}+2\ne 0$ hay $\sqrt{a}\ne -2$ (luôn đúng với mọi a ≠ 0).

• $a+\sqrt{a}-2\ne 0$ hay $\left(\sqrt{a}+2\right)\left(\sqrt{a}-1\right)\ne 0$ suy ra a ≠ 1.

Vậy điều kiện xác định của Q là a ≥ 0 và a ≠ 1.

Bài 10. Điều kiện xác định của căn thức $P=\frac{x\sqrt{x}-1}{x-\sqrt{x}}+\frac{x\sqrt{x}+1}{x+\sqrt{x}}-\frac{4}{\sqrt{x}}$ là

A. x > 0, x ≠ 1.

B. x ≥ 0, x ≠ 1.

C. x > 1.

D. x ≥ 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Với mọi x ≥ 0, ta có:

• $x-\sqrt{x}\ne 0$ hay $\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\ne 0$ suy ra x ≠ 0 và x ≠ 1.

• $x+\sqrt{x}\ne 0$ hay $\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+1\right)\ne 0$ suy ra x ≠ 0 (do $\sqrt{x}+1$ ≠ 0 luôn đúng với mọi x ≥ 0).

• $\sqrt{x}\ne 0$ khi x ≠ 0.

Vậy điều kiện xác định của biểu thức P là x > 0 và x ≠ 1.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Căn thức bậc hai của một bình phương
• Một số bài toán thực tế liên quan đến căn bậc hai và căn thức bậc hai
• Khai căn bậc hai của phép nhân
• Khai căn bậc hai của phép chia
• So sánh các căn bậc hai

---