Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì lớp 9 (chi tiết nhất)

Bài viết Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì.

1. Định nghĩa bất đẳng thức Bunhiacopxki

⦁ Cho a₁, a₂, b₁, b₂ là những số thực, ta có:

${\left(a_1{b}_1+a_2{b}_2\right)}^2\le \left(a_1^2+a_2^2\right)\left(b_1^2+b_2^2\right).$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi$\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}.$

⦁ Mở rộng: Cho a₁, a₂, a₃, b₁, b₂, b₃ là những số thực, ta có:

${\left(a_1{b}_1+a_2{b}_2+a_3{b}_3\right)}^2$$\le \left(a_1^2+a_2^2+a_3^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2\right).$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi $\frac{a_1}{b_1}=\frac{a_2}{b_2}=\frac{a_3}{b_3}.$

2. Ví dụ minh họa về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Ví dụ 1. Cho các số thực x, y, a, b và a, b ≠ 0. Chứng minh rằng:

$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge \frac{{\left(x+y\right)}^2}{a+b}.$

Hướng dẫn giải

Cách 1. Ta có: $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge \frac{{\left(x+y\right)}^2}{a+b}.$

Suy ra x²b(a + b) + y²a(a + b) ≥ ab(x + y)²

Khi đó x²ab + x²b² + y²a² + y²ab ≥ ab(x² + 2xy + y²)

Vì vậy x²ab + x²b² + y²a² + y²ab ≥ x²ab + 2xyab + y²ab

Suy ra x²b² + y²a² – 2xyab ≥ 0.

Do đó (xb – ya)² ≥ 0 (luôn đúng với mọi số thực x, y, a, b).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khixb = ya hay $\frac{x}{a}=\frac{y}{b}.$

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Cách 2. Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bộ hai số (x; y), (a; b), ta có:

(xa + yb)² ≤ (x² + y²)(a² + b²)

Suy ra x²a² + 2xyab + y²b² ≤ x²a² + x²b² + y²a² + y²b²

Do đó x²b² – 2xyab + y²a² ≥ 0

Vì vậy x²ab + x²b² + y²a² + y²ab ≥ x²ab + 2xyab + y²ab

Suy ra x²ab + x²b² + y²a² + y²ab ≥ ab(x² + 2xy + y²)

Khi đó x²b(a + b) + y²a(a + b) ≥ ab(x + y)²

Vậy $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}\ge \frac{{\left(x+y\right)}^2}{a+b}$ (điều phải chứng minh)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi$\frac{x}{a}=\frac{y}{b}.$

Ví dụ 2.Cho các số thực a, b, c. Chứng minh rằng: a² + b² + c² ≥ ab + bc + ca.

Hướng dẫn giải

Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bộ ba số (a; b), (b; c), (c; a), ta được:

(ab + bc + ca)² ≤ (a² + b² + c²)(b² + c² + a²) = (a² + b² + c²)²

Lấy căn bậc hai của hai vế, ta được: ab + bc + ca ≤ |ab + bc + ca| ≤ a² + b² + c².

Vậy ta có điều phải chứng minh.

3. Bài tập về bất đẳng thức Bunhiacopxki

Bài 1. Cho các số thực a, b, c. Chứng minh: (a² + 2)(b² + 2)(c² + 2) ≥ 3(a + b + c)².

Bài 2. Cho các số thực dương a, b, c sao cho a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ac}+\frac{c}{c+2ab}\ge 1.$

Bài 3. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^2+ab+bc}+\frac{1}{b^2+bc+ca}+\frac{1}{c^2+ca+ab}\le {\left(\frac{a+b+c}{ab+bc+ca}\right)}^2.$

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 sách mới hay, chi tiết khác:

• Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì

• Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông là gì

• Bất đẳng thức AM-GM là gì

• Kích thước mẫu số liệu là gì

• Tam giác nội tiếp đường tròn là gì

---