Bất đẳng thức AM-GM là gì lớp 9 (chi tiết nhất)

Bài viết Bất đẳng thức AM-GM là gì lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Bất đẳng thức AM-GM là gì.

1. Định nghĩa bất đẳng thức AM-GM

⦁ Cho các số thực không âm a, b, khi đó ta có: $a+b\ge 2\sqrt{ab}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

⦁ Cho các số thực không âm a, b, c, khi đó ta có: $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}.$

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.

Các bất đẳng thức trên gọi là bất đẳng thức Cauchy cho hai và ba số thực không âm (còn gọi là bất đẳng thức AM-GM).

2. Ví dụ minh họa về bất đẳng thức AM-GM

Ví dụ 1. Cho các số thực không âm a, b. Chứng minh rằng: a³ + b³ ≥ ab(a + b).

Hướng dẫn giải

Ta có: a³ + b³ = (a + b)(a² – ab + b²).

Suy ra a³ + b³ – ab(a + b) = (a + b)(a² – 2ab + b²) = (a + b)(a – b)² ≥ 0.

Vậy a³ + b³ ≥ ab(a + b) (điều phải chứng minh).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Ví dụ 2. Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng: (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.

Hướng dẫn giải

Cách 1.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$a+b\ge 2\sqrt{ab},b+c\ge 2\sqrt{bc},c+a\ge 2\sqrt{ca}.$

Suy ra $\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge \mathrm{2.2.2.}\sqrt{ab}.\sqrt{bc}.\sqrt{ca}.$

Khi đó $\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\ge 8\sqrt{a^2{b}^2{c}^2}$ (1)

Vì a, b, c ≥ 0 nên ta có $\sqrt{a^2}=a,\sqrt{b^2}=b,\sqrt{c^2}=c.$

Từ (1), ta thu được (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc (điều phải chứng minh).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

Cách 2.

Ta có: (a + b)(b + c)(c + a)

= (ab + ac + b² + bc)(c + a)

= abc + a²b + ac² + a²c + b²c + ab² + bc² + abc

= (abc + a²b + a²c) + (ab² + b²c + abc) + (abc + bc² + ac²) – abc

= a(bc + ab + ac) + b(ab + bc + ac) + c(ab + bc + ac) – abc

= (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc.

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

$a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}$ và $ab+bc+ca\ge 3\sqrt[3]{ab.bc.ca}=3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}.$

Suy ra

$\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)$$\ge 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2{b}^2{c}^2}$$=9\sqrt[3]{a^3{b}^3{c}^3}$$=9abc.$

Do đó (a + b + c)(ab + bc + ca) – abc ≥ 9abc – abc = 8abc.

Vậy (a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc (điều phải chứng minh).

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a = b.

3. Bài tập về bất đẳng thức AM-GM

Bài 1. Cho các số không âm a, b. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge \frac{4}{a+b}\ge \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a^2+b^2}}.$

Bài 2. Cho các số thực không âm a, b, c. Chứng minh rằng:

$\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)$$\ge \frac{8}{9}\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right).$

Bài 3. Cho các số thực a, b, c > 0. Chứng minh rằng:

$\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le \frac{1}{abc}.$

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 sách mới hay, chi tiết khác:

• Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là gì

• Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác vuông là gì

• Bất đẳng thức Bunhiacopxki là gì

• Kích thước mẫu số liệu là gì

• Tam giác nội tiếp đường tròn là gì

---