Trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và ý nghĩa lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và ý nghĩa lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Trung vị, tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm và ý nghĩa.

1. Phương pháp giải

Cho mẫu số liệu ghép nhóm

a) Trung vị

Để tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta làm như sau:

Bước 1. Xác định nhóm chứa trung vị. Giả sử đó là nhóm thứ p là [a_p; a_p+1).

Bước 2. Trung vị là $M_e=a_p+\frac{\frac{n}{2}-\left(m_1+\mathrm{...}+m_{p-1}\right)}{m_p}\cdot \left(a_{p+1}-a_p\right),$trong đó n là cỡ mẫu, m_p là tần số nhóm p. Với p = 1, ta quy ước m₁ +…+ m_p–1 = 0.

Ý nghĩa trung vị: Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho trung vị của mẫu số liệu gốc, nó chia mẫu số liệu thành hai phần, mỗi phần chứa 50% giá trị.

b) Tứ phân vị

– Để tính tứ phân vị thứ nhất Q₁của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q₁. Giả sử đó là nhóm thứ p,là [a_p; a_{p + 1}). Khi đó,

$Q_1=a_p+\frac{\frac{n}{4}-\left(m_1+\mathrm{...}+m_{p-1}\right)}{m_p}\cdot \left(a_{p+1}-a_p\right),$

trong đó, n là cỡ mẫu, m­_p là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước m₁ +…+ m_{p – 1} = 0.

–Để tính tứ phân vị thứ ba Q₃ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa Q₃.Giả sử đó là nhóm thứ p, là [a_p; a_{p + 1}). Khi đó,

$Q_3=a_p+\frac{\frac{3n}{4}-\left(m_1+\mathrm{...}+m_{p-1}\right)}{m_p}\cdot \left(a_{p+1}-a_p\right),$

trong đó, n là cỡ mẫu, m_p là tần số nhóm p, với p = 1 ta quy ước m₁ +…+ m_{p – 1} = 0.

– Tứ phân vị thứ hai Q₂ chính là trung vị M_e.

Chú ý:

⦁ Ta cũng có thể xác định nhóm chứa tứ phân vị thứ r nhờ tính chất có khoảng $\frac{r\cdot n}{4}$giá trị nhỏ hơn tứ phân vị này.

⦁Nếu chỉ tính số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm thì ta không cần hiệu chỉnh nhóm rời rạc k₁ – k₂, chọn giá trị đại diện là $\frac{k_1+k_2}{2}$.

Ý nghĩa của tứ phân vị: Các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm xấp xỉ cho các tứ phân vị của mẫu số liệu gốc, chúng chia mẫu số liệu thành 4 phần, mỗi phần chứa 25% giá trị.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Độ bão hoà oxygen trong máu (còn được gọi là chỉ số SpO₂) biểu thị cho tỉ lệ hemoglobin có oxygen trên tổng lượng hemoglobin trong máu. Chỉ số SpO₂ (đơn vị đo là %) từ 97 – 99 là oxygen trong máu tốt, 94 – 96 là oxygen trong máu trung bình, 90 – 93 là oxygen trong máu thấp, dưới 90 là trường hợp cấp cứu trên lâm sàng. (Theo: Vinmec.com). Đo chỉ số SpO₂ ở một số bệnh nhân Covid–19 người ta thu được kết quả sau:

a) Cho biết các nhóm số liệu và tần số tương ứng.

b) Tính số trung bình, trung vị và giải thích ý nghĩa của các giá trị thu được.

Hướng dẫn giải:

a) Có 3 nhóm số liệu gồm 90 – 93, 94 – 96, 97 – 99 với tần số tương ứng là 12, 31, 7.

b) Trước hết, ta hiệu chỉnh các nhóm số liệu và thu được bảng tần số ghép nhóm gồm giá trị đại diện như sau:

Cỡ mẫu n = 12 + 31 + 7 = 50 . Do đó, số trung bình là

$\overline{x}=\frac{12\cdot 91,5+31\cdot 95+7\cdot 98}{50}=\mathrm{94,58.}$

Do có $\frac{n}{2}=25$giá trị nhỏ hơn trung vị nên trung vị thuộc nhóm [93,5; 96,5). Ta có, a_p = 93,5; a_{p + 1} = 96,5; m₁ + … + m_{p – 1} = 12, m_p = 31. Do đó, trung vị là

$M_e=93,5+\frac{25-12}{31}\cdot 3\approx \mathrm{94,76.}$

Như vậy, chỉ số SpO₂ trung bình của 50 bệnh nhân là 94,58; có 25 bệnh nhân có chỉ số SpO₂ nhỏ hơn 94,76 và 25 bệnh nhân có chỉ số SpO₂ lớn hơn 94,76.

Ví dụ 2. Một nhóm gồm 45 học sinh làm một bài kiểm tra trắc nghiệm gồm 40 câu hỏi. Số câu trả lời đúng của mỗi bạn được ghi lại ở bảng sau:

a) Tìm các tứ phân vị của dãy số liệu trên.

b) Tổng hợp lại dãy số liệu trên vào bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

c) Hãy ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

Hướng dẫn giải:

a) Mẫu số liệu đã cho được sắp xếp theo thứ tự không giảm như sau:

16; 17; 18; 19; 20; 20; 21; 21; 22; 23; 24; 24; 24; 24; 24;
25; 26; 26; 26; 27; 28; 29; 30; 30; 31; 32; 33; 34; 34; 34;
35;35;36;36;36;37;37;37;37;38;38;39;39;40;40.

Cỡ mẫu là n = 45 là số lẻ nên trung vị của mẫu số liệu là Q₂ = x₂₃ = 30.

Tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=\frac{1}{2}\left(x_{11}+x_{12}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(24+24\right)=24.$

Tứ phân vị thứ ba là $Q_3=\frac{1}{2}\left(x_{34}+x_{35}\right)=\frac{1}{2}\cdot \left(36+36\right)=36.$

b) Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:

c) Do số câu trả lời đúng của học sinh là số nguyên nên ta hiệu chỉnh lại bảng số liệu như sau:

Gọi x₁; x₂;…; x₄₅ là số câu trả lời đúng của 45 học sinh được sắp xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁, …, x₆ $\in$ [15,5; 20,5); x₇, …, x₁₆ $\in$ [20,5; 25,5); x₁₇, …, x₂₄ $\in$ [25,5; 30,5); x₂₅, …, x₃₂ $\in$ [30,5; 35,5); x₃₃, …, x₄₅ $\in$ [35,5; 40,5).

Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu x₁; x₂;…; x₄₅ là x₂₃ $\in$ [25,5; 30,5).

Do đó, tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm là

$Q_2=25,5+\frac{\frac{45}{2}-\left(6+10\right)}{8}\cdot \left(30,5-25,5\right)=\mathrm{29,5625.}$

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu x₁; x₂;…; x₄₅ là

$\frac{1}{2}\left(x_{11}+x_{12}\right).$

Do x₁₁ và x₁₂ thuộc nhóm [20,5; 25,5) nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_1=20,5+\frac{\frac{45}{4}-6}{10}.\left(25,5-20,5\right)=\mathrm{23,125}$.

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu x₁; x₂;…; x₄₅ là $\frac{1}{2}\left(x_{34}+x_{35}\right)$.

Do x₃₄ và x­₃₅ thuộc nhóm [35,5; 40,5) nên tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_3=35,5+\frac{\frac{3.45}{4}-\left(6+10+8+8\right)}{13}.\left(40,5-35,5\right)\approx \mathrm{36,173}$.

Ví dụ 3. Một công ty cung cấp nước sạch thống kê lượng nước các hộ gia đình trong một khu vực tiêu thụ trong một tháng ở bảng sau:

a) Hãy ước lượng số trung bình, mốt và trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Công ty muốn gửi một thông báo khuyến nghị tiết kiệm nước đến 25% các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ cao nhất. Hỏi công ty nên gửi đến các hộ tiêu thụ từ bao nhiêu mét khối nước trở lên?

Hướng dẫn giải:

a) Cỡ mẫu n = 160.

Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm đã cho là

$\overline{x}=\frac{24.4,5+57.7,5+42.10,5+29.13,5+8.16,5}{160}=\mathrm{9,375}$.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm trên là nhóm [6; 9).

Do đó: u_m = 6; n_m = 57; n_{m – 1} = 24; n_m+1 = 42.

Mốt của mẫu số liệu là $M_O=6+\frac{57-24}{\left(57-24\right)+\left(57-42\right)}\cdot \left(9-6\right)=\mathrm{8,0625}$

Gọi x₁; x₂;…; x₁₆₀ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁, …, x₂₄ $\in$ [3; 6); x₂₅, …, x₈₁ $\in$ [6; 9); x₈₂, …,x₁₂₃$\in$[9; 12); x₁₂₄, …, x₁₅₂$\in$ [12; 15); x₁₅₃, …, x₁₆₀ $\in$ [15; 18).

Cỡ mẫu n = 160 là số chẵn nên trung vị là $M_e=\frac{1}{2}\left(x_{80}+x_{81}\right)$.

Do x₈₀ và x₈₁ thuộc nhóm [6; 9) nên trung vị của mẫu số liệu là

$M_e=6+\frac{\frac{160}{2}-24}{57}.\left(9-6\right)\approx \mathrm{8,95}$.

Vậy công ty nên gửi thông báo tiết kiệm nước đến các hộ gia đình có lượng nước tiêu thụ từ 8,95 m³ nước trở lên.

Ví dụ 4. Bảng sau thống kê khối lượng một số quả măng cụt được lựa chọn ngẫu nhiên trong một thùng hàng.

a) Hãy tính số trung bình, mốt và trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên.

b) Người ta muốn chia măng cụt trong thùng ra làm ba loại theo cân nặng, bao gồm: loại nhỏ, loại vừa và loại to. Các loại này lần lượt chiếm khoảng 25%, 50% và 25% số măng cụt trong thùng. Hãy xác định ngưỡng cân nặng để phân loại quả.

Hướng dẫn giải:

a) Cỡ mẫu n = 90.

Bảng tần số ghép nhóm của mẫu số liệu trên như sau:

Số trung bình của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

$\overline{x}=\frac{18.81+20.83+24.85+15.87+13.89}{90}=\frac{254}{3}\approx \mathrm{84,67}$.

Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu là nhóm [84; 86).

Do đó: u_m = 84; n_m = 24; n_m–1 = 20; n_m+1 = 15; u_m+1 = 86.

Mốt của mẫu số liệu là $M_O=84+\frac{24-20}{\left(24-20\right)+\left(24-15\right)}.\left(86-84\right)\approx \mathrm{84,62}$.

Gọi x₁; x₂;…; x₉₀ là mẫu số liệu được xếp theo thứ tự không giảm.

Ta có: x₁, …, x₁₈ $\in$ [80; 82); x₁₉, …, x₃₈$\in$ [82; 84); x₃₉, …, x₆₂$\in$ [84; 86); x₆₃, …, x₇₇ $\in$ [86; 88); x₇₈, …, x₉₀ $\in$ [88; 90).

Cỡ mẫu n = 90 là số chẵn nên trung vị là $M_e=\frac{1}{2}\left(x_{45}+x_{46}\right)$

Do x₄₅ và x₄₆ thuộc nhóm [84; 86) nên trung vị của mẫu số liệu là

$M_e=84+\frac{\frac{90}{2}-\left(18+20\right)}{24}.\left(86-84\right)\approx \mathrm{84,58}$.

b) Gọi Q₁, Q₃ lần lượt là tứ phân vị thứ nhất và thứ ba của mẫu số liệu. Theo đề bài, ta có:

Măng cụt loại nhỏ có cân nặng nhỏ hơn Q₁.

Măng cụt loại vừa có cân nặng trong [Q₁; Q₃).

Măng cụt loại to có cân nặng không nhỏ hơn Q₃.

Tứ phân vị thứ nhất của dãy số liệu x₁; x₂;…; x₉₀ là x₂₃ Î [82; 84).

Tứ phân vị thứ ba của dãy số liệu x₁; x₂;…; x₉₀ là x₆₈ Î [86; 88).

Do đó, tứ phân vị thứ nhất là $Q_1=82+\frac{\frac{90}{4}-18}{20}.\left(84-82\right)=\mathrm{82,45}$;

tứ phân vị thứ ba là $Q_3=86+\frac{\frac{90.3}{4}-\left(18+20+24\right)}{15}.\left(88-86\right)\approx \mathrm{86,73}$.

Vậy măng cụt loại nhỏ có khối lượng (tính theo gam) thuộc [80; 82,45).

Măng cụt loại vừa có khối lượng (tính theo gam) thuộc [82,45; 86,73).

Măng cụt loại to có khối lượng (tính theo gam) thuộc [86,73; 90).

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Số a thoả mãn có 25% giá trị trong mẫu số liệu nhỏ hơn a và 75% giá trị trong mẫu số liệu lớn hơn a là

A. số trung bình;

B. trung vị;

C. tứ phân vị thứ nhất;

D. tứ phân vị thứ ba.

Bài 2. Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:

Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là

A. [40;60);

B. [20; 40);

C. [60;80);

D. [80;100).

Bài 3. Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

A. [7; 9);

B. [9; 11);

C. [11; 13);

D. [13; 15).

Bài 4. Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):

Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với giá trị nào trong các giá trị dưới đây?
A. 7;

B. 7,6;

C. 8;

D. 8,6.

Bài 5. Lương tháng của một số nhân viên một văn phòng được ghi lại như sau (đơn vị: triệu đồng):

Tứ phân vị của dãy số liệu trên là

A. Q₁ = 9; Q₂ = 10,75; Q₃ ≈ 12,3;

B. Q₁ = 9; Q₂ = 10,75; Q₃ ≈ 14,3;

C. Q₁ = 9; Q₂ = 11; Q₃ ≈ 12,3;

D. Q₁ = 10; Q₂ = 10,75; Q₃ ≈12,3.

Bài 6. Thời gian luyện tập trong một ngày (tính theo giờ) của một số vận động viên được ghi lại ở bảng sau:

Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là khoảng

A. 3,6875;

B. 5,417;

C. 7,042;

D. 7,68.

Bài 7. Trong tuẫn lễ bảo vệ môi trường, các học sinh khối 11 tiến hành thu nhặt vỏ chai nhựa để tái chế. Nhà trường thống kê kết quả thu nhặt vỏ chai của học sinh khối 11 ở bảng sau:

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. 19,51;

B. 19,59;

C. 20,2;

D. 18,6.

Bài 8. Thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:

Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

A. 18,1;

B. 18,5;

C. 17,2;

D. 15,6.

Bài 9. Một hãng ô tô thống kê lại số lần gặp sự cố về động cơ của 100 chiếc xe cùng loại sau 2 năm sử dụng đầu tiên ở bảng sau:

Ước lượng tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép số trên ta được kết quả là

A. 2,64;

B. 2,89;

C. 2,73;

D. 2,98.

Bài 10. Cho bảng tần số ghép nhóm số liệu thống kê cân nặng của 40 học sinh lớp 11 A trong một trường trung học phổ thông (đơn vị: kilôgam)

Ước lượng các tứ phân vị của mẫu số liệu ghép số trên ta được

A. Q₁ = 49 (kg), Q₂ = 50 (kg), Q₃ = 52,5 (kg);

B. Q₁ = 48 (kg), Q₂ = 55 (kg), Q₃ = 62,5 (kg);

C. Q₁ = 47 (kg), Q₂ = 54 (kg), Q₃ = 63,5 (kg);

D. Q₁ = 46 (kg), Q₂ = 53 (kg), Q₃ = 64,5 (kg).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Xác định quan hệ giữa điểm, đường thẳng và mặt phẳng trong không gian

• Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

• Xác định giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng

• Vị trí tương đối của hai đường thẳng trong không gian

• Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng

---