Tính đạo hàm bằng định nghĩa (tại một điểm và trên một khoảng) lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính đạo hàm bằng định nghĩa (tại một điểm và trên một khoảng) lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính đạo hàm bằng định nghĩa (tại một điểm và trên một khoảng).

1. Phương pháp giải

- Cho hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) và điểm x₀ ∈ (a; b). Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn $\underset{\text{x}\to {\text{x}}_0}{\lim }\frac{\text{f}\left(\text{x}\right)-\text{f}\left({\text{x}}_{\text{0}}\right)}{\text{x}-{\text{x}}_{\text{0}}}$  thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f(x) tại x₀ và được kí hiệu f'(x₀) hoặc .

- Để tính đạo hàm f'(x₀) của hàm số y = f(x) tại x₀, ta thực hiện ba bước sau:

+ Bước 1: Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀. Tính ∆y = f(x₀ + ∆x) – f(x₀).

+ Bước 2: Rút gọn tỉ số $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}$ .

+ Bước 3: Tính $\underset{\text{Δx}\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}$ .

Kết luận nếu $\underset{\text{Δx}\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\text{a}$  thì f'(x₀) = a.

- Ngoài cách trên, để tính đạo hàm f'(x₀) của hàm số y = f(x) tại x₀ ∈ (a; b) ta có thể thực hiện như sau:

+ Bước 1: Tính f(x) – f(x₀).

+ Bước 2: Lập và rút gọn tỉ số $\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$  với x ∈ (a; b), x ≠ x₀.

+ Bước 3: Tìm giới hạn $\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính đạo hàm của hàm số $\text{f(x)}=\frac{\text{1}}{\text{x}}$  tại x₀ = 1 bằng định nghĩa.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 1.

Ta có ∆y = f(1 + ∆x) – f(1) = $\frac{\text{1}}{\text{1 + }\Delta \text{x}}-1=\frac{-\Delta x}{\text{1 + }\Delta \text{x}}$.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\frac{-1}{1+\Delta \text{x}}$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{\Delta \text{x}\to 0}{\lim }\frac{-1}{1+\Delta \text{x}}=\frac{-1}{1}=-1$.

Vậy f'(1) = –1.

Ví dụ 2. Tính đạo hàm của hàm số f(x) = x – 3 tại x₀ = 5 bằng định nghĩa.

Hướng dẫn giải:

Xét ∆x là số gia của biến số tại điểm x₀ = 5.

Ta có ∆y = f(5 + ∆x) – f(5) = 2 + ∆x  – 2 = ∆x.

Suy ra $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=1$.

Ta thấy $\underset{\text{Δx}\to 0}{\lim }\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}=\underset{\Delta \text{x}\to 0}{\lim }1=1$.

Vậy f'(5) = 1.

Ví dụ 3. Tính đạo hàm của hàm số y = f(x) = x² + 2x tại điểm x₀ = 1.

Hướng dẫn giải:

Ta có: f(x) – f(1) = x² + 2x – 3 = x² – 1 + 2x – 2 = (x – 1)(x + 3).

Với x ≠ 1, $\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=x+3$.

Tính giới hạn: $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(1\right)}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\left(x+3\right)=1+3=4$.

Vậy f'(1) = 4.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hàm số f(x) = 3x² + 2x – 1, ∆x là số gia của biến số tại x₀ = 3. Khi đó ∆y bằng:

A. 3(∆x)² + 20∆x;

B. (∆x)² + 20∆x;

C. 3(∆x)² + 16∆x;

D. 3(∆x)² + 20∆x + 33.

Bài 2. Đạo hàm của hàm số $\text{f(x)}=\frac{1}{3\text{x}-4}$ tại x₀  = 2 là:

A. $\frac{3}{4}$ ;

B. $\frac{-3}{4}$ ;

C. $\frac{4}{3}$ ;

D. $\frac{-4}{3}$ .

Bài 3. Cho hàm số $\text{f(x)}=\frac{{\text{x}}^{\text{3}}-1}{\text{x}+2}$. Đạo hàm của số tại x₀  = 1 là:

A. 0;

B. 1;

C. –2;

D. 3.

Bài 4. Cho hàm số $\sqrt{\text{x}-2}$, ∆x là số gia của biến số tại x₀ = 3. Khi đó $\frac{\text{Δy}}{\text{Δx}}$  bằng:

A. $\frac{1-\sqrt{1+\Delta \text{x}}}{\Delta \text{x}}$ ;

B. $\frac{\sqrt{1-\Delta \text{x}}+1}{\Delta \text{x}}$ ;

C. $\frac{\sqrt{1+\Delta \text{x}}-1}{\Delta \text{x}}$ ;

D. $\frac{\sqrt{1+\Delta \text{x}}+1}{\Delta \text{x}}$ .

Bài 5. Trong các hàm số sau hàm số nào có đạo hàm bằng $\frac{1}{4}$ tại x₀  = 1.

A. $\frac{{\text{x}}^2-\text{x}}{\text{x + }1}$ ;

B. $\frac{{\text{x}}^2-1}{\text{x}+2}$ ;

C. $\frac{{\text{x}}^2}{2-\text{x}}$ ;

D. $\frac{{\text{x}}^2-2\text{x}}{\text{x}+1}$ .

Bài 6. Cho hàm số f(x) = sin x. Đạo hàm của số tại x₀  = $\frac{\text{π}}{\text{2}}$ là:

A. –2;

B. –1;

C. 0;

D. 1.

Bài 7. Cho hàm số f(x) = $\sqrt{\text{x}}$. Đạo hàm của hàm số tại x₀  = 3 là:

A. $\frac{1}{2\sqrt{3}}$ ;

B. 0;

C. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ ;

D. 1.

Bài 8. Đạo hàm của hàm số f(x) = x⁴ – 5 tại x₀  = 2 là:

A. 8;

B. 24;

C. 0;

D. 32.

Bài 9. Cho hàm số f(x) = $\sqrt{\text{x}-1}$. Đạo hàm của hàm số tại x₀  = 10 là:

A. –1;

B. 0;

C. $\frac{1}{3}$ ;

D. $\frac{1}{6}$ .

Bài 10. Đạo hàm của hàm số f(x) = x² – 2x + 1 tại x₀  = 1 bằng a. Đạo hàm của hàm số g(x) = x – 2 tại x₀  = 4 bằng b. Khi đó a – b bằng:

A. –1;

B. 0;

C. 1;

D. Cả A, B, C đều sai.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm thuộc đồ thị

• Vận dụng định nghĩa đạo hàm vào giải các bài toán thực tiễn

• Tính đạo hàm của một số hàm số sơ cấp cơ bản

• Sử dụng công thức tính đạo hàm của tổng, hiệu, tích, thương và đạo hàm của hàm số hợp

• Vận dụng các quy tắc tính đạo hàm để giải các bài toán thực tiễn

---