Tìm tập xác định của hàm số lượng giác lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tìm tập xác định của hàm số lượng giác lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm tập xác định của hàm số lượng giác.

1. Phương pháp giải

* Tập xác định của hàm số lượng giác

– Hàm số y = sin x, y = cos x xác định trên ℝ.

Khi đó, y = sin[u(x)], y = cos [u(x)] xác định khi và chỉ khi u(x) xác định.

– Hàm số y = tan x có tập xác định là .

Khi đó, y = tan [u(x)] có nghĩa khi và chỉ khi u(x) xác định và $u\left(x\right)\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

– Hàm số y = cot x có tập xác định là D = ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ}.

Khi đó, y = cot [u(x)] có nghĩa khi và chỉ khi u(x) xác định và u(x) ≠kπ, k ∈ ℤ.

* Một số chú ý khi tìm điều kiện xác định:

– Hàm số $y=\sqrt{f\left(x\right)}$xác định khi f(x) ≥ 0.

– Hàm số $y=\frac{1}{f\left(x\right)}$ xác định khi f(x) ≠ 0.

– Hàm số $y=\frac{1}{\sqrt{f\left(x\right)}}$ xác định khi f(x) > 0.

– Một số trường hợp đặc biệt:  

$\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi ,k\in \mathbb{Z}$;

$\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$;

$\sin x\ne \pm 1\iff x\ne \pm \frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$;

$\cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$;

$\cos x\ne -1\iff x\ne \pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1.Tìm tập xác định của các hàm số sau:

a) $y=\tan \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$;

b) $y=\cot \left(-2x-\frac{\pi }{3}\right)$;

c) $y=\frac{\sin 2x+1}{\sin 4x-1}$;

d) $y=2\cos \sqrt{x^2-3x+2}$.

Hướng dẫn giải:

a) Biểu thức $\tan \left(x-\frac{\pi }{6}\right)$ có nghĩa khi $\cos \left(x-\frac{\pi }{6}\right)\ne 0$, tức là $x-\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Hay $x\ne \frac{2\pi }{3}+k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là .

b) Biểu thức $\cot \left(-2x-\frac{\pi }{3}\right)$  có nghĩa khi và chỉ khi $-2x-\frac{\pi }{3}\ne k\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$, tức là $x\ne -\frac{\pi }{6}-\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Tập xác định của hàm số là .

c) Biểu thức $\frac{\sin 2x+1}{\sin 4x-1}$ có nghĩa khi sin 4x ≠ 1, tức là $4x\ne \frac{\pi }{2}+k2\pi \left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Hay $x\ne \frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là .

d) Biểu thức $2\cos \sqrt{x^2-3x+2}$ có nghĩa khi x² – 3x + 2 ≥ 0, tức là x ≤ 1 hoặc x ≥ 2.

Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = (–∞; 1] ∪ [2; +∞).

Ví dụ 2. Tìm m để hàm số $y=\sqrt{5-m\sin x-\left(m+1\right)\cos x}$ xác định trên ℝ.

Hướng dẫn giải:

Hàm số xác định trên ℝ khi chỉ khi 5 – m sin x – (m + 1) cos x ≥ 0, ∀x ∈ ℝ

⇔ m sin x + (m + 1) cos x ≤ 5, ∀x ∈ ℝ

$\iff \frac{m}{\sqrt{m^2+{\left(m+1\right)}^2}}\sin x+\frac{m+1}{\sqrt{m^2+{\left(m+1\right)}^2}}\cos x\le \frac{5}{\sqrt{m^2+{\left(m+1\right)}^2}},\forall x\in ℝ$

 $\iff \sin \left(x+\alpha \right)\le \frac{5}{\sqrt{m^2+{\left(m+1\right)}^2}},\forall x\in ℝ$(với α thỏa mãn $\cos \alpha =\frac{m}{\sqrt{m^2+{\left(m+1\right)}^2}}$)

$\iff \frac{5}{\sqrt{2m^2+2m+1}}\ge 1\iff \sqrt{2m^2+2m+1}\le 5$

$\iff 2m^2+2m-24\le 0\iff -4\le m\le 3$.

Vậy m ∈ [– 4; 3] thì thỏa mãn yêu cầu bài toán.

3. Bài tập tự luyện 

Bài 1. Tập xác định của hàm số y = 2023tan²⁰²⁴ 2x là

A. ;

B. ;

C. ;

D. .

Bài 2. Hàm số y = cot2a + 2cosa + 3 có tập xác định là

A. ;

B. ;

C. ;

D. .

Bài 3. Tập xác định của hàm số y = 2cotx + sin3x là

A. ;

B. ;

C. ;

D. .

Bài 4. Tập xác định của hàm số $y=\tan \left(x+\frac{2\pi }{3}\right)$ là

A. ;

B. ;

C. ;

D. .

Bài 5. Tập xác định của hàm số $y=\frac{1}{{\sin }^{2}x-{\cos }^{2}x}$ là

A. ;

B. ;

C. ;

D..

Bài 6. Tập nào sau đây là tập xác định của hàm số $y=\frac{\cot x}{\sin x-1}$ ?

A. ;

B. ;

C. ;

D. .

Bài 7. Xét bốn mệnh đề sau:

(1) Hàm số y = sin x có tập xác định là ℝ.

(2) Hàm số y = cos x có tập xác định là ℝ.

(3) Hàm số y = tan x có tập xác định là ℝ\{kπ}.

(4) Hàm số y = cot x có tập xác định là .

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là 

A. 1;

B. 2;

C. 3;

D. 4.

Bài 8. Hàm số $y=\frac{\sqrt{2+\cos x}}{\sin 3x}$ có tập xác định là

A. ;

B. ;

C. ;

D. .

Bài 9. Hàm số nào sau đây có tập xác định là ℝ?

A. $y=2\cos \sqrt{x}$;

B. $y=\frac{\tan 2x}{{\sin }^{2}x+1}$;

C. $y=\cos \frac{1}{x}$;

D. $y=\sqrt{\frac{\sin 2x+3}{\cos 4x+5}}$.

Bài 10. Giá trị của m để hàm số $y=\frac{2-\sin 2x}{\sqrt{m\cos x+1}}$ xác định trên ℝ là

A. –1 ≤ m ≤ 1;

B. –1 < m < 1;

C. m > 0;

D. 0 < m < 1.

Bài 11. Tập hợp tất cả giá trị của m để hàm số $y=\frac{1}{\sin 2x-m}$ có tập xác định là ℝ là

A. [–1; 1];

B. (– ∞; –1) ∪ (1; + ∞);

C. (–1; 1);

D. (– ∞; –1] ∪ [1; + ∞).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Xác định tính chẵn, lẻ; tính tuần hoàn, chu kì của hàm số

• Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số

• Bài toán thực tế về hàm số lượng giác

• Giải phương trình lượng giác bằng cách vận dụng phương trình lượng giác cơ bản

• Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình lượng giác cơ bản

---