Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình lượng giác cơ bản lớp 11 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Giải phương trình lượng giác bằng cách đưa về phương trình lượng giác cơ bản.

1. Phương pháp giải

Một số phương trình đưa về phương trình lượng giác cơ bản:

* Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

– Dạng tổng quát: af²(x) + bf(x) + c = 0 (1) với f(x) là một hàm số lượng giác.

– Phương pháp giải:

Đặt t = f(x) và tìm điều kiện của t nếu có.

Phương trình (1) trở thành phương trình bậc 2 ẩn t. Giải phương trình tìm ẩn t, kiểm tra điều kiện, từ đó ta tìm được x.

* Phương trình bậc nhất theo sin x và cos x:

– Dạng tổng quát: asinx + bcosx = c (với a, b là các số thực khác 0) (2)

– Phương pháp giải:

+ Chia cả hai vế của phương trình (2) cho $\sqrt{a^2+b^2}$, phương trình (2) trở thành:

$\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin x+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Đặt α là góc thỏa mãn $\cos \alpha =\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$và $\sin \alpha =\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Phương trình trở thành:

$\cos \alpha .\sin x+\sin \alpha .\cos x=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

⇔$\sin \left(x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Đây là phương trình lượng giác cơ bản, ta có thể giải được.

* Phương trình đẳng cấp bậc 2, bậc 3 đối với sinx và cosx:

– Dạng tổng quát: Phương trình đẳng cấp đối với sinx và cosx là phương trình có dạng f(sinx, cosx) = 0 trong đó luỹ thừa của sinx và cosx cùng chẵn hoặc cùng lẻ.

– Phương pháp giải:

+ Xét cosx = 0 xem có là nghiệm của phương trình không?

+ Xét cosx ≠ 0. Chia hai vế phương trình cho coskx (k là số mũ cao nhất) ta được phương trình ẩn là tanx.

+ Giải và kết hợp nghiệm của cả hai trường hợp ta được nghiệm của phương trình đã cho.

+ Hoàn toàn tương tự ta có thể làm như trên đối với sinx.

Chú ý: Ngoài ra còn một số dạng phương trình khác có thể đưa về phương trình lượng giác cơ bản bằng cách sử dụng các phép biến đổi tương đương; các công thức lượng giác: công thức cộng; công thức nhân đôi; công thức biến đổi tổng thành tích; tích thành tổng…

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải các phương trình lượng giác sau:

a) 3sin²x + 2sinx – 5 = 0;

b) tan²x – $\left(1+\sqrt{3}\right)$tanx + $\sqrt{3}$= 0.

Hướng dẫn giải

a) Đặt t = sinx (–1 ≤ t ≤ 1)

Phương trình trở thành:

3t² + 2t – 5 = 0

Với t = 1, ta có: sinx = 1 ⇔$x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$, k ∈ ℤ

Vậy tập nghiệm của phương trình là .

b) Đặt t = tanx

Phương trình trở thành:

t² – $\left(1+\sqrt{3}\right)$t + $\sqrt{3}$= 0

Với t = 1 ta có: tanx = 1 ⇔$x=\frac{\pi }{4}+k\pi$, k ∈ ℤ

Với t = $\sqrt{3}$ta có: tanx = $\sqrt{3}$⇔$x=\frac{\pi }{3}+k\pi$, k ∈ ℤ

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Ví dụ 2. Giải phương trình lượng giác sinx + $\sqrt{3}$cosx = 1.

Hướng dẫn giải

sinx + $\sqrt{3}$cosx = 1

⇔$\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}$sinx + $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{1+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}$cosx = $\frac{1}{\sqrt{1+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}}$

⇔$\frac{1}{2}$sinx + $\frac{\sqrt{3}}{2}$cosx = $\frac{1}{2}$(*)

Ta có: $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$; $\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó phương trình (*) trở thành:

$\cos \frac{\pi }{3}$.sinx + $\sin \frac{\pi }{3}$. cosx = $\frac{1}{2}$

⇔$\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}$

⇔$\sin \left(x+\frac{\pi }{3}\right)=\sin \frac{\pi }{6}$

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Ví dụ 3. Giải phương trình lượng giác: sin³x + 2sinx.cos²x + 3cos³x = 0.

Hướng dẫn giải:

sin³x + 2sinx.cos²x + 3cos³x = 0 (*)

Xét cosx = 0. Khi đó:

(*) ⇔ sin³x = 0

⇔ sinx = 0 (vô lí do sin²x + cos²x = 0 ≠ 1)

Xét cosx ≠ 0. Chia cả hai vế (*) cho cos³x. Khi đó:

(*) ⇔ $\frac{{\sin }^{3}x}{{\cos }^{3}x}+\frac{2\sin x.{\cos }^{2}x}{{\cos }^{3}x}+\frac{3{\cos }^{3}x}{{\cos }^{3}x}=0$

⇔ tan³x + 2tanx + 3 = 0

Phương trình (1) vô nghiệm.

Ta có tanx = –1 ⇔ $x=-\frac{\pi }{4}+k\pi$, k ∈ ℤ

.

Ví dụ 4. Giải phương trình: cos²(x – 30°) – sin²(x – 30°) = sin(x + 30°).

Hướng dẫn giải

cos²(x – 30°) – sin²(x – 30°) = sin(x + 30°)

⇔ cos(2x – 60°) = sin(x + 30°)(công thức nhân đôi)

⇔ cos(2x – 60°) = cos(90° – x – 30°)(hai góc phụ nhau)

⇔ cos(2x – 60°) = cos(60° – x)

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {40° + k120°; k360°|k ∈ ℤ}.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Phương trình nào sau đây là phương trình bậc nhất với sinx và cosx?

A. 3cos²x – 5cosx + 4 = 0;

B. sinx + 2cosx = 2;

C. sin³x + 3sinx.cos²x + 2cos³x = 0;

D. sin(3x + 4) – cos²(2x) = cos(3x).

Bài 2. Nghiệm của phương trình cos²x – 3cosx + 2 = 0 là

A.

B.

C. $x=k\pi$, k ∈ ℤ;

D. $x=k2\pi$, k ∈ ℤ.

Bài 3. Nghiệm của phương trình cos2x – sinx + 2 = 0 là

A. x = $\frac{\pi }{2}+k2\pi$, k ∈ ℤ;

B. x = $\frac{\pi }{3}+k2\pi$, k ∈ ℤ;

C. x = $\frac{\pi }{2}+k\pi$, k ∈ ℤ;

D. x = $\frac{\pi }{6}+k2\pi$, k ∈ ℤ.

Bài 4. Một nghiệm của phương trình 3tan²x – 4tanx + 1 = 0 là

A. $\frac{\pi }{4}$;

B. $\frac{\pi }{3}$;

C. $\frac{\pi }{2}$;

D. $\frac{\pi }{6}$.

Bài 5. Tập nghiệm của phương trình sin3x + cos3x = 1 là:

A. S = $\left(k2\pi |k\in \mathbb{Z}\right)$;

B. S = $\left(k\pi |k\in \mathbb{Z}\right)$;

C.

D.

Bài 6. Nghiệm của phương trình sinx– $\sqrt{3}$cosx = 1 là

A.

B.

C.

D.

Bài 7. Một nghiệm của phương trình sin2x + cos2x = $\sqrt{2}$là:

A. $\frac{\pi }{4}$;

B. $\frac{\pi }{8}$;

C. $\frac{\pi }{2}$;

D. $\frac{\pi }{16}$.

Bài 8. Tập nghiệm của phương trình sin²x – $\left(\sqrt{3}+1\right)$sinx.cosx + $\sqrt{3}$cos²x = 0 là:

A.

B.

C.

D.

Bài 9. Nghiệm của phương trình cos³x – 4sin³x – 3cosx.sin²x + sinx = 0 là:

A.

B.

C.

D.

Bài 10. Nghiệm của phương trình sin²x – sin²x.cos²x = 1 là:

A.

B.

C.

D.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 11 hay, chi tiết khác:

• Bài toán thực tế về phương trình lượng giác

• Tìm các số hạng của dãy số cho bởi công thức truy hồi và dự đoán công thức tổng quát của dãy số

• Xét tính tăng giảm của dãy số

• Xét tính bị chặn của dãy số

• Bài toán thực tế về Dãy số

---