Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là gì lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng là gì lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng.

1. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng ∆ được gọi là vuông góc với mặt phẳng (P) nếu ∆ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (P).

Chú ý: Khi ∆ vuông góc với (P), ta còn nói (P) vuông góc với ∆ hoặc ∆ và (P) vuông góc với nhau, kí hiệu ∆⊥ (P).

Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau thuộc cùng một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó.

2. Ví dụ minh họa về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A và tam giác SAC vuông tại A. Chứng minh rằng AC ⊥ SB.

Hướng dẫn giải

Vì tam giác ABC vuông tại A nên AB ⊥ AC.

Vì tam giác SAC vuông tại A nên SA ⊥ AC.

Lại có SA và AB cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAB).

Do đó, AC ⊥ (SAB). Mà SB ⸦ (SAB) nên AC ⊥ SB.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O và SA vuông góc với đáy. Chứng minh rằng BD ⊥ SO.

Hướng dẫn giải

Vì ABCD là hình vuông nên AC ⊥ BD.

Vì SA vuông góc với đáy nên SA ⊥ BD.

Mà SA và AC cắt nhau tại A và nằm trong mặt phẳng (SAC) nên BD ⊥ (SAC).

Lại có: SO ⸦ (SAC) nên BD ⊥ SO.

Ví dụ 3. Một chiếc cột được dựng trên nền sân phẳng. Gọi O là điểm đặt chân cột trên mặt sân và M là điểm trên cột cách chân cột 80 cm. Trên mặt sân, người ta lấy hai điểm A và B đều cách O là 60 cm (A, B, O không thẳng hàng). Người ta đo độ dài MA và MB đều bằng 100 cm. Hỏi theo các số liệu trên, chiếc cột có vuông góc với mặt sân hay không?

Hướng dẫn giải

Ta có: 100² = 60² + 80² nên MA² = OA² + MO² và MB² = OB² + MO².

Do đó, tam giác MOA vuông tại O và tam giác MOB vuông tại O.

Suy ra: MO ⊥ OA, MO ⊥ OB. Do đó, MO ⊥ (OAB).

Vậy chiếc cột vuông góc với mặt sân.

3. Bài tập về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Bài 1. Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thoi tâm O và SO vuông góc với mặt đáy. Chứng minh rằng tam giác SAC và tam giác SBD là các tam giác cân.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABC có tam giác SAB là tam giác vuông tại A. Tam giác ABC có AB = 3a, AC = 4a và BC = 5a. Chứng minh rằng SA ⊥ BC.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật có AB = a, BC = 2a, SA = 4a và SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của BC. Tính SM.

Bài 4. Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, đáy là hình bình hành.

a) Hình bình hành ABCD trở thành hình gì thì AD ⊥ (SAB)?

b) Hình bình hành ABCD trở thành hình gì thì BD ⊥ (SAC)?

Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có tam giác SAD cân tại S và đáy là hình chữ nhật. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC. Chứng tỏ rằng AD ⊥ (SMN).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Nghiệm của bất phương trình logarit

• Phép chiếu vuông góc là gì

• Hai mặt phẳng vuông góc là gì

• Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng

• Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

• Hình chóp đều là gì

---