Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng lớp 11 (chi tiết nhất)

Bài viết Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng lớp 11 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng.

1. Điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng

Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt phẳng này chứa một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng kia.

2. Ví dụ minh họa về điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’^ (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Chứng minh rằng:

a) (BB’C’C) ⊥ (ABC).

b) (BB’C’C) ⊥ (A’ABB’).

Hướng dẫn giải

a) Vì BB’ ⊥ (ABC), mà BB’⸦ (BB’C’C). Do đó, (BB’C’C) ⊥ (ABC).

b) Vì BB’ ⊥ (ABC) nên BB’ ⊥ BC, và BC ⊥ AB (do tam giác ABC vuông tại B) nên BC ⊥ (AA’B’B). Mà BC ⸦ (BB’C’C). Do đó, (BB’C’C) ⊥ (A’ABB’).

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA ⊥ (ABCD). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, CD và SB. Chứng minh rằng:

a) (SAD) ⊥ (ABCD).

b) (SAB) ⊥ (MNP).

Hướng dẫn giải

a) Vì SA ⊥ (ABCD) và SA ⸦ (SAD) nên (SAD) ⊥ (ABCD).

b) Vì SA ⊥ (ABCD) nên SA ⊥ AD, AD ⊥ AB (do ABCD là hình chữ nhật).

Do đó, AD ⊥ (SAB).

Vì MN là đường trung bình của hình chữ nhật ABCD nên MN //AD.

Ta có: AD ⊥ (SAB), MN //AD nên MN ⊥ (SAB).

Mà MN ⸦ (MNP) nên (SAB) ⊥ (MNP).

Ví dụ 3. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ BB’ và CC’ cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC).

a) Chứng minh rằng (ABB’) ⊥ (ACC’).

b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên BC và B’C’. Chứng minh rằng (AHK) ⊥ (AB’C’).

Hướng dẫn giải

a) Vì CC’ ⊥ (ABC) nên CC’ ⊥ AB. Lại có: AB ⊥ AC (do tam giác ABC vuông tại A) nên AB ⊥ (ACC’). Mà AB ⸦ (ABB’) nên (ABB’) ⊥ (ACC’).

b) Vì AH ⊥ BC, BB’ ⊥ AH (do BB’ ⊥ (ABC)) nên AH ⊥ (BB’C’C).

Suy ra: AH ⊥ B’C’. Lại có: AK ⊥ B’C’ nên B’C’ ⊥ (AHK).

Mà B’C’ ⸦ (AB’C’) nên (AHK) ⊥ (AB’C’).

3. Bài tập về điều kiện vuông góc của hai mặt phẳng

Bài 1. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AA’ ⊥ (ABC), tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng:

a) (AA’C’C) ⊥ (A’B’C’).

b) (AA’C’C) ⊥ (AA’B’B).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông. Tam giác SAB cân tại S, H, I lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng (SDC) ⊥ (SHI).

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB = SA, AD = √2AB và SA vuông góc với mặt đáy. Gọi N là trung điểm của AD. Chứng minh rằng (SAC) ⊥ (SBN).

Bài 4. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA vuông góc với đáy, AB = 5a, BC = 13a, AC = 12a. Chứng minh rằng:

a) Tam giác ABC vuông.

b) (SAB) ⊥ (SAC).

Bài 5. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại B và SA vuông góc với mặt đáy.

a) Chứng minh rằng (SBC) ⊥ (SAB).

b) Gọi H và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB và SC. Chứng minh rằng (SBC) ⊥ (AHK).

c) Gọi D là giao điểm của HK và BC. Chứng minh rằng (SAD) ⊥ (SAC).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 sách mới hay, chi tiết khác:

• Hai mặt phẳng vuông góc là gì

• Tính chất của hai mặt phẳng vuông góc

• Hình chóp đều là gì

• Hình chóp cụt đều là gì

• Biến cố hợp là gì

• Biến cố giao là gì

---