Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

Bài viết Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến.

Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

- Nhắc lại Phương trình đường tròn: Trong mặt phẳng Oxy, phương trình đường tròn có dạng:

+ Dạng 1: Đương tròn (C) tâm I (a;b), bán kính R, (C): (x - a)2 + (y - b)2 = R2

+ Dạng 2: (C): x2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (điều kiện: a2 + b2 - c > 0) khi đó đường tròn tâm I (a;b) và bán kính Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

- Sử dụng tính chất: Phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

→ Như vậy, để viết phương trình (C’) ta chỉ cần tìm ảnh tâm I của (C) qua phép tịnh tiến.

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn có phương trình (C): (x + 3)2 + (y – 1)2 = 4 với Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (-3;1) Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (-3;1)

Hướng dẫn giải:

* Cách 1: (C) có tâm I(-3; 1) và bán kính R = 2

Khi đó: Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay (I) = I'(-6;2) và R’ = R = 2. Vậy: Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay (C) = (C'): (x + 6)2 + (y - 2)2 = 4

* Cách 2: Gọi M(x;y) ∈ (C), Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

Ta có: M ∈ (C) ⇔ (x’ + 3 + 3)2 + (y’ – 1 – 1)2 = 4 ⇔ M’ ∈ (C'): (x + 6)2 + (y – 2)2 = 4

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo Tính chất của phép tịnh tiến cực hay, cho đường tròn (C) có phương trình . Tìm ảnh của (C): x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 0 qua phép tịnh tiến theo vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (2;-3)

Hướng dẫn giải:

Cách 1. Sử dụng biểu thức tọa độ.

Lấy điểm M(x;y) tùy ý thuộc đường tròn (C), ta có x2 + y2 + 2x - 4y - 4 = 0 (*)

Gọi Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

Thay vào phương trình (*) ta được (x' - 2)2 + (y' + 3)2 + 2(x' - 2) - 4(y' + 3) - 4 = 0

⇔ x'2 + y'2 -2x' + 2y' - 7 = 0.

Vậy ảnh của (C) là đường tròn(C'): x2 + y2 - 2x + 2y - 7 = 0.

Cách 2. Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến

Dễ thấy (C) có tâm I(-1;2) và bán kính r = 3. Gọi (C') = Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay ((C)) và I'(x';y'); r' là tâm và bán kính của (C').

Ta có Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay và r' = r = 3 nên phương trình của đường tròn (C') là (x - 1)2 + (y + 1)2 = 9.

Ví dụ 3: Tìm tọa độ vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay sao cho Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay (C) = (C')

a) (C): (x – 2)2 + (y + 3)2 = 4 và (C’): (x + 5)2 + (y – 1)2 = 4

b) (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 và (C’): x2 + y2 + 4x – 6y + 10 = 0

Hướng dẫn giải:

a) Từ (C), ta có: tâm I(2;-3) và từ (C’), ta có: tâm I’(-5; 1)

Khi đó: Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay (C) = (C') ⇒ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (-7;4)

b) Từ (C), ta có: tâm I(1;-2) và từ (C’), ta có: tâm I’(-2; 3)

Khi đó: Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay (C) = (C') ⇒ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (-3;5)

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ảnh của đường tròn (C): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 4 qua phép tịnh tiến theo vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (3;2) là đường tròn có phương trình:

A. (x + 2)2 + (y + 5)2 = 4.

B. (x - 2)2 + (y - 5)2 = 4.

C. (x - 1)2 + (y + 3)2 = 4.

D. (x + 4)2 + (y - 1)2 = 4.

Lời giải:

Gọi (C’) là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay

+) Đường tròn (C) có tâm I(-1;3), bán kính R = 2.

+) Gọi I'(x';y') là tâm của đường tròn (C’) là ảnh của I(-1;3) qua phép tịnh tiến vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (3;2).

Ta có Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

+) Theo tính chất của Phép tịnh tiến: R' = R = 2.

+) Khi đó, (C') có tâm I'(2;5), bán kính R' = 2 nên có phương trình (x - 2)2 + (y - 5)2 = 4.

Chọn B.

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (3;3) và đường tròn (C): x2 + y2 - 2x + 4y - 4 = 0. Ảnh của (C) qua phép tịnh tiến vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay là đường tròn nào?

A. (C'): (x - 4)2 + (y - 1)2 = 4.

B. (C'): (x - 4)2 + (y - 1)2 = 9.

C. (C'): (x + 4)2 + (y + 1)2 = 9.

D. (C'): x2 + y2 + 8x + 2y - 4 = 0.

Lời giải:

Chọn B.

Ta có (C): x2 + y2 -2x + 4y - 4 = 0 ⇔ (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9.

Vậy đường tròn (C) có tâm I(1;-2) và bán kính R = 3.

Gọi I'(x';y') = Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay (I) khi đó ta có Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

Do phép tịnh tiến biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính nên phương trình đường tròn (C') là (C'): (x - 4)2 + (y - 1)2 = 9.

Câu 3. Cho Tính chất của phép tịnh tiến cực hay(3;-2) và đường tròn (C): x2 + y2 - 4x + 4y - 1 = 0. Ảnh của (C) qua Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay là (C'):

A. x2 + y2 + 8x + 2y - 4 = 0

B. (x + 5)2 + (y - 4)2 = 9.

C. (x + 1)2 + y2 = 9.

D. (x - 5)2 + (y + 4)2 = 9.

Lời giải:

Chọn D.

Đường tròn (C): (x - 2)2 + (y + 2)2 = 9 có tâm I(2;-2) và bán kính R = 3

Gọi I' là tâm của đường tròn (C’). Khi đó: Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay (I) = I' ⇒ I'(5;-4).

Mặt khác: R' = R = 3. Vậy phương trình của (C’): (x - 5)2 + (y + 4)2 = 9

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai đường tròn (C1) và (C2) bằng nhau có phương trình lần lượt là (x - 1)2 + (y + 2)2 = 16 và (x + 3)2 + (y - 4)2 = 16. Giả sử T là phép tịnh tiến theo vectơ Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay biến (C1) thành (C2). Tìm tọa độ của vectơ Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay.

A. Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay = (-4;6).

B. Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay = (4;-6).

C. Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay = (3;-5).

D. Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay = (8;-10).

Lời giải:

Đường tròn (C1) có tâm I1(1;-2). Đường tròn (C2) có tâm I2(-3;4).

Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

Chọn A.

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 + 4x - 6y - 5 = 0. Thực hiện liên tiếp hai phép tịnh tiến theo các vectơ Cách tìm ảnh của 1 đường thẳng qua phép tịnh tiến cực hay = (1;-2) và Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (1;-1) thì đường tròn (C) biến thành đường tròn (C') có phương trình là:

A. x2 + y2 - 18 = 0.

B. x2 + y2 - x + 8y + 2 = 0.

C. x2 + y2 + x - 6y - 5 = 0.

D. x2 + y2 - 4y - 4 = 0.

Lời giải:

Cách 1.

+) Từ giả thiết suy ra (C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

+) Đường tròn (C) có tâm I(-2;3), bán kính Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

+) Gọi I'(x';y') là tâm của đường tròn (C’) là ảnh của I(-2;3) qua phép tịnh tiến vectơ Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay = (2;-3) → I'(0;0).

+) Theo tính chất của Phép tịnh tiến: Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

+) Khi đó, (C') có tâm I'(0;0), bán kính Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay nên có phương trình (x - 0)2 + (y - 0)2 = 18

Chọn A.

Cách 2.

+) Từ giả thiết suy ra (C') là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

+) Biểu thức tọa độ của phép Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay thay vào (C) ta được

(x' - 2)2 + (y' + 3)2 + 4(x - 2) - 6(y' + 3) - 5 = 0 ↔ x'2 + y'2 - 18 = 0.

Chọn A.

Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường tròn(C'): (x + 1)2 + (y - 3)2 = 9. Phép tịnh tiến theo véc tơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay biến đường tròn (C) thành đường tròn (C'). Khi đó véc tơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay có toạ độ là

A. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (5;2).

B. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (2;-5).

C. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (-2;5).

D. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (2;5).

Lời giải:

Chọn C

Đường tròn (C)có tâm I(1;-2) và bán kính R = 3, đường tròn (C') có tâm I'(-1;3) và bán kính R = 3.

Phép tịnh tiến theo véc tơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay biến đường tròn (C) thành đường tròn (C') thì Cách tìm ảnh của 1 điểm qua phép tịnh tiến cực hay (I) = I'

Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình x + y - 1 = 0 và đường tròn (C): (x - 3)2 + (y - 1)2 = 1. Ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc tơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (4;0) cắt đường tròn (C) tại hai điểm A(x1;y1) và B(x2;y2). Giá trị x1 + x2 bằng:

A. 5.

B. 8.

C. 6.

D. 7.

Lời giải:

Chọn D

Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

Do đó ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo Tính chất của phép tịnh tiến cực hay là d': x + y - 5 = 0.

Giao điểm của d' và (C) là nghiệm của hệ phương trình:

Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

Có x1; x2 là hai nghiệm của phương trình (2) nên theo định lý Vi-ét có x1 + x2 = 7.

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường tròn (C): (x + m)2 + (y - 2)2 = 5 và (C'): x2 + y2 + 2(m - 2)y - 6x + 12 + m2 = 0. Vectơ Tính chất của phép tịnh tiến cực hay nào dưới đây là vectơ của phép tịnh tiến biến (C) thành (C')?

A. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (2;1).

B. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (-2;1).

C. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (-1;2).

D. Tính chất của phép tịnh tiến cực hay = (2;-1).

Lời giải:

Chọn A.

Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

Câu 9. Có bao nhiêu phép tịnh tiến biến một đường tròn cho trước thành chính nó?

A. 0

B. 1

C. 2

D. Vô số.

Lời giải:

Có đúng một phép tịnh tiến. Tịnh tiến theo vectơ–không.

Chọn B

Câu 10. Cho đường tròn (C) có tâm O và đường kính AB. Gọi ∆ là tiếp tuyến của (C) tại điểm

A. Phép tịnh tiến theo vectơ Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay biến ∆ thành:

A. Đường kính của đường tròn (C) song song với ∆.

B. Tiếp tuyến của (C) tại điểm B.

C. Tiếp tuyến của (C) song song với AB.

D. Đường thẳng song song với ∆và đi qua O

Lời giải:

Chọn B.

Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay

Theo tính chất 2 của phép tịnh tiến nên Cách tìm ảnh của 1 đường tròn qua phép tịnh tiến cực hay là tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm B.

Bài 1. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x + 2)2 + (y – 1)2 = 4 qua phép tịnh tiến theo véc tơ v=1;2.

Bài 2. Tìm ảnh của đường tròn (C): (x - 1)2 + (y + 2)2 = 4 qua phép tịnh tiến theo véc tơ u=2;3.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ảnh của đường tròn (C)” x2 + y2 – 2y = 0 qua phép tịnh tiến theo v=3;2 là đường tròn có phương trình?

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phương trình x2 + y2 – 2x + 4y – 4 = 0. Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v=2;4.

Bài 5. Tìm ảnh (C’) của đường tròn (C): (x − 2)2 + (y + 3)2 = 4 qua phép tịnh tiến u=2;3.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

phep-doi-hinh-va-phep-dong-dang-trong-mat-phang.jsp

Giải bài tập lớp 11 sách mới các môn học