Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu cho trước (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu cho trước lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính số trung bình, trung vị, tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu cho trước.

1. Phương pháp giải

a. Số trung bình

- Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂, …, x_n.

Số trung bình (hay số trung bình cộng) của mẫu số liệu này, kí hiệu là $\overline{x}$, được tính bởi công thức:

$\overline{x}=\frac{x_1\text{+ }{x}_2\text{+}\mathrm{...}\text{+ }{x}_n}{n}$

- Giả sử mẫu số liệu được cho dưới dạng bảng tần số

Khi đó, công thức trung bình trở thành:

$\overline{x}=\frac{n_1{x}_1\text{+ }{n}_2{x}_2\text{+}\mathrm{...}\text{+ }{n}_k{x}_n}{n}$

Trong đó n = n₁ + n₂ + … + n_k. Ta gọi n là cỡ mẫu.

Chú ý: Nếu $f_k=\frac{n_k}{n}$ là tần số tương đối (hay còn gọi là tần suất) của x_k trong mẫu số liệu thì số trung bình còn có thể biểu diễn $\overline{x}$ = f₁x₁ + f₂x₂ + … + f_kx_k.

b. Trung vị và tứ phân vị

- Trung vị:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

Trung vị của mẫu, kí hiệu là M_e, là giá trị ở chính giữa dãy x₁, x₂, …, x_n.

Cụ thể:

+ Nếu n = 2k + 1, k ∈ ℕ, thì trung vị của mẫu M_e = x_k+1.

+ Nếu n = 2k, thì trung vị của mẫu M_e = $\frac{1}{2}$(x_k + x_k+1).

- Tứ phân vị:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm, ta được: x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

Tứ phân vị của một mẫu số liệu gồm ba giá trị, gọi là tứ phân vị thứ nhất, thứ hai và thứ ba (lần lượt kí hiệu là Q₁, Q₂, Q₃). Ba giá trị này chia tập hợp đã sắp xếp thành bốn phần đều nhau.

Cụ thể:

+ Giá trị tứ phân vị thứ hai, Q₂, chính là số trung vị của mẫu.

+ Giá trị phân vị thứ nhất, Q₁, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên trái Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ).

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba, Q₃, là trung vị của nửa số liệu đã sắp xếp bên phải Q₂ (không bao gồm Q₂ nếu n lẻ).

c. Mốt

Cho một mẫu số liệu dưới dạng bảng tần số. Giá trị có tần số lớn nhất được gọi là mốt của mẫu số liệu và kí hiệu là M₀.

Chú ý: Một mẫu số liệu có thể có nhiều mốt. Khi tất cả các giá trị trong mẫu số liệu có tần số xuất hiện bằng nhau thì mẫu số liệu đó không có mốt.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Điểm kiểm tra môn Toán của lớp 10A được thống kê trong bảng dưới đây:

a) Tính số điểm trung bình của các học sinh trên.

b) Tìm mốt trong bảng thống kê trên.

Hướng dẫn giải:

a) Điểm trung bình của các học sinh lớp 10A là:

$\overline{x}=\frac{7.12+8.15+9.8+10.5}{12+15+8+5}=\mathrm{8,15}$

b) Ta thấy số học sinh đạt điểm 8 lớn hơn số học sinh đạt điểm 7, 9, 10. Do đó mốt của mẫu số liệu trên là 8.

Vậy M₀ = 8.

Ví dụ 2: Cho các mẫu số liệu sau:

a) 8; 6; 1; 6; 10; 3; 8; 2; 11; 15; 12.

b) 2; 9; 7; 12; 10; 6; 8; 15.

Tính trung vị và tứ phân vị của các mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải:

a) Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

1; 2; 3; 6; 6; 8; 8; 10; 11; 12; 15.

Vì cỡ mẫu là n = 11 nên trung vị của mẫu số liệu trên là số liệu thứ 6. Tức là M_e = 8.

Ta có:

+ Giá trị tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 8.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 1; 2; 3; 6; 6.

Do đó Q₁ = 3.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 8; 10; 11; 12; 15.

Do đó Q₃ = 11.

b) Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm, ta được:

2; 6; 7; 8; 9; 10; 12; 15

Vì cỡ mẫu là n = 8 nên trung vị của mẫu số liệu trên là trung bình cộng của số liệu thứ 4 và 5. Tức là M_e = $\frac{8+9}{2}=\mathrm{8,5}$

Ta có:

+ Giá trị tứ phân vị thứ hai là Q₂ = 8,5.

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 6; 7; 8.

Do đó Q₁ = $\frac{6+7}{2}=\mathrm{6,5}$

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 9; 10; 12; 15.

Do đó Q₃ = $\frac{10+12}{2}=11$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Tính số trung bình của mẫu số liệu sau:

2; 5; 8; 7; 10; 20; 11.

A. 8;

B. 9;

C. 10;

D. 11..

Bài 2: Số lượng khách từ ngày thứ nhất đến ngày thứ 10 của một nhà hàng mới mở được thống kê ở bảng sau:

Tính số khách trung bình từ bảng số liệu trên.

A. 9,2;

B. 10,2;

C. 11,2;

D. 12,2.

Bài 3: Tìm trung vị của mẫu số liệu sau:

1; 0; 5; 10; 2; 3; 9.

A. 3;

B. 5;

C. 0;

D. 2.

Bài 4: Tìm trung vị của mẫu số liệu sau:

8; 5; 9; 12; 3; 2; 5; 15.

A. 3,5;

B. 4,5;

C. 5,5;

D. 6,5.

Bài 5: Cho mẫu số liệu sau:

5; 2; 9; 10; 15; 5; 20.

Tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ của mẫu số liệu trên lần lượt là:

A. 2; 5; 9;

B. 5; 9; 15;

C. 10; 5; 15;

D. 2; 9; 15.

Bài 6: Cho mẫu số liệu sau:

1; 9; 12; 10; 2; 9; 15; 11; 20; 17.

Tứ phân vị Q₁, Q₂, Q₃ của mẫu số liệu trên lần lượt là:

A. 9; 11; 15;

B. 2; 10,5; 15;

C. 10; 12,5; 15;

D. 9; 10,5; 15.

Bài 7: Số lượng học sinh đăng kí thi môn cầu lông các lớp từ lớp 6 đến lớp 9 được thống kê trong bảng dưới đây:

Lớp	6	7	8	9
Số lượng	20	25	22	15

Tìm mốt trong mẫu số liệu trên.

A. 6;

B. 7;

C. 8;

D. 9.

Bài 8: Cho mẫu số liệu sau:

2; 5; 9; 12; 15; 5; 20.

Tìm mốt của mẫu số liệu trên.

A. 5;

B. 9;

C. 12;

D. 20.

Bài 9: Có 5 mẫu xe máy được đánh số từ 1 đến 5. Số lượng khách hàng mua các mẫu xe đó trong tháng 6 được thống kê bằng bảng sau:

Mẫu	1	2	3	4	5
Số lượng	30	25	41	27	45

Tính số lượng xe trung bình khách hàng mua trong tháng 6.

A. 31,6;

B. 32,6;

C. 33,6;

D. 34,6.

Bài 10: Cho mẫu số liệu sau:

8; 6; 12; 3; 1; 9; 6; 15; 9.

Tìm trung vị của mẫu số liệu trên.

A. 6;

B. 8;

C. 9;

D. 15.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• Sử dụng ý nghĩa của các số đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu để nhận xét về mẫu

• Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, các giá trị ngoại lệ, độ lệch chuẩn và phương sai mẫu số liệu cho trước

• So sánh hai mẫu số liệu tương đồng và xem xét mẫu nào ổn định hơn

• Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai

• Giải bất phương trình bậc hai

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---