Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, các giá trị ngoại lệ, độ lệch chuẩn và phương sai mẫu số liệu cho trước (cách giải + bài tập)

Bài viết phương pháp giải bài tập Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, các giá trị ngoại lệ, độ lệch chuẩn và phương sai mẫu số liệu cho trước lớp 10 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tìm khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị, các giá trị ngoại lệ, độ lệch chuẩn và phương sai mẫu số liệu cho trước.

1. Phương pháp giải

- Khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị:

Sắp xếp mẫu số liệu theo thứ tự không giảm ta được:

x₁ ≤ x₂ ≤ … ≤ x_n.

+ Khoảng biến thiên của một mẫu số liệu, kí hiệu là R, là hiệu giữa giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu đó, tức là:

R = x_n – x₁.

+ Khoảng tứ phân vị, kí hiệu là ∆_Q, là hiệu giữa tứ phân vị thứ ba Q₃ và tứ phân vị thứ nhất Q₁, tức là:

∆_Q = Q₃ – Q₁.

- Giá trị ngoại lệ:

Khoảng tứ phân vị được dùng để xác định các giá trị ngoại lệ trong mẫu, đó là các giá trị quá nhỏ hay quá lớn so với đa số các giá trị của mẫu. Cụ thể, phần tử x trong mẫu là giá trị ngoại lệ nếu x > Q₃ + 1,5∆_Q hoặc x < Q₁ – 1,5∆_Q.

- Phương sai và độ lệch chuẩn:

Giả sử ta có một mẫu số liệu là x₁, x₂, …, x_n.

+ Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là S², được tính bởi công thức:

S² = $\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$

Trong đó $\overline{x}$ là số trung bình của mẫu số liệu.

+ Độ lệch chuẩn là căn bậc hai của phương sai, kí hiệu là S. Ta có $S=\sqrt{S^2}$.

Chú ý:

+ Ta có thể biến đổi công thức tính phương sai trên thành:

S² = $\frac{1}{n}\left(x_1^2+x_2^2+\mathrm{...}+x_n^2\right)-{\overline{x}}^2$.

+ Trong thống kê, người ta cũng quan tâm đến phương sai hiệu chỉnh, kí hiệu là ${\widehat{s}}^2$, được tính bởi công thức:

${\widehat{s}}^2=\frac{1}{n-1}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho mẫu số liệu sau đây:

5; 6; 10; 8; 15; 2; 20; 17; 8; 15.

a) Tìm khoảng biến thiên và khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

b) Tìm giá trị ngoại lệ (nếu có) của mẫu số liệu trên.

Hướng dẫn giải:

a) Sắp xếp mẫu số liệu trên theo thứ tự không giảm ta có:

2; 5; 6; 8; 8; 10; 15; 15; 17; 20.

+ Giá trị nhỏ nhất của mẫu số liệu trên là 2.

+ Giá trị lớn nhất của mẫu số liệu trên là 20.

Vậy khoảng biến thiên của mẫu là: R = 20 – 2 = 18.

Ta lại có:

+ Giá trị tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 2; 5; 6; 8; 8.

Do đó Q₁ = 6.

+ Giá trị tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 10; 15; 15; 17; 20.

Do đó Q₃ = 15.

Khi đó: ∆_Q = Q₃ – Q₁ = 15 – 6 = 9

Vậy khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên là 9.

b) Ta có:

+) Q₃ + 1,5∆_Q = 15 + 1,5.9 = 28,5

+) Q₁ – 1,5∆_Q = 6 – 1,5.9 = – 7,5

Vì không có giá trị nào của x thuộc mẫu số liệu trên thỏa mãn x > Q₃ + 1,5∆_Q hoặc x < Q₁ – 1,5∆_Q nên mẫu số liệu trên không có giá trị ngoại lệ.

Ví dụ 2: Cho mẫu số liệu sau:

8; 15; 6; 20; 25; 31.

Tìm phương sai và độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải:

Số trung bình của mẫu số liệu trên là:

$\overline{x}=\frac{8+15+6+20+25+31}{6}=\mathrm{17,5}$.

Công thức tính phương sai của một mẫu số liệu là:

S² = $\frac{1}{n}\left[{\left(x_1-\overline{x}\right)}^2+{\left(x_2-\overline{x}\right)}^2+\mathrm{...}+{\left(x_n-\overline{x}\right)}^2\right]$

Thay số ta có:

S² = $\frac{1}{6}$[(8 – 17,5)² + (15 – 17,5)² + (6 – 17,5)² + (20 – 17,5)² + (25 – 17,5)² + (31 – 17,5)²] ≈ 78,92.

Do đó phương sai của mẫu số liệu trên là 78,92.

Độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên là S = $\sqrt{S^2}$ = $\sqrt{\mathrm{78,92}}$ ≈ 8,88.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1: Cho mẫu số liệu sau:

12; 5; 8; 11; 6; 20; 22.

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên.

A.16;

B. 17;

C. 18;

D. 19.

Bài 2: Cho mẫu số liệu sau:

5; 6; 12; 2; 5; 17; 23; 15; 10.

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

A. 8;

B. 9;

C. 10;

D. 11.

Bài 3: Cho mẫu số liệu sau:

7; 2; 10; 12; 5.

Tìm phương sai của mẫu số liệu trên.

A. 12,56;

B. 12,32;

C. 10,55;

D. 13,26.

Bài 4: Cho mẫu số liệu sau:

10; 3; 6; 9; 15.

Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 3,03;

B. 4,03;

C. 5,03;

D. 6,03.

Bài 5: Cho mẫu số liệu sau đây:

9; 1; 19; 25; 15; 43; 39; 28.

Giá trị nào sau đây là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên?

A. 1;

B. 9;

C. 43;

D. Không có giá trị nào.

Bài 6: Cho mẫu số liệu sau:

15; 26; 5; 2; 9; 5; 28; 30; 2; 26.

Tính khoảng biến thiên của mẫu số liệu trên.

A.26;

B. 28;

C. 30;

D. 32.

Bài 7: Cho mẫu số liệu sau:

2; 9; 12; 16; 3; 5; 12; 33; 24; 27.

Tính khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

A. 17;

B. 18;

C. 19;

D. 20.

Bài 8: Cho mẫu số liệu sau đây:

2; 5; 1; 2; 8; 5; 45; 3.

Giá trị nào sau đây là giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên?

A. 1;

B. 2;

C. 45;

D. Không có giá trị nào.

Bài 9: Cho mẫu số liệu sau:

12; 2; 6; 13; 9; 21.

Tìm phương sai của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 35,85;

B. 34,85;

C. 34,58;

D. 35,58.

Bài 10: Cho mẫu số liệu sau:

24; 16; 12; 5; 9; 3.

Tìm độ lệch chuẩn của mẫu số liệu trên (làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 7,04;

B. 8,04;

C. 7,55;

D. 8,55.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 10 hay, chi tiết khác:

• So sánh hai mẫu số liệu tương đồng và xem xét mẫu nào ổn định hơn

• Xét dấu của biểu thức chứa tam thức bậc hai

• Giải bất phương trình bậc hai

• Bài toán chứa tham số liên quan đến dấu của tam thức bậc hai

• Ứng dụng tam thức bậc hai, bất phương trình bậc hai trong chứng minh bất đẳng thức và tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Lời giải bài tập lớp 10 sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---