Đỉnh của parabol là gì lớp 10 (chi tiết nhất)

Bài viết Đỉnh của parabol là gì lớp 10 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Đỉnh của parabol là gì.

1. Định nghĩa đỉnh của parabol

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, đồ thị hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (với a ≠ 0) là một parabol (P) có đỉnh I với hoành độ $x_I=-\frac{b}{2a},$ tung độ $y_I=-\frac{\Delta }{4a}.$

Chú ý: Nếu b = 2b’ thì (P) có đỉnh $I\left(-\frac{b^{\text{'}}}{a};-\frac{{\Delta }^{\text{'}}}{a}\right).$

Nhận xét: Tổng quát, ta có thể viết hàm số bậc hai y = ax² + bx + c (a ≠ 0) dưới dạng

$y=a{x}^2+bx+c$$=a\left(x^2+2\frac{b}{2a}x+\frac{b^2}{4a^2}\right)-\frac{b^2}{4a}+c$$=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a},$ với ∆ = b² – 4ac.

Ta thấy điểm $I\left(-\frac{b}{2a};-\frac{\Delta }{4a}\right)$ thuộc đồ thị hàm số bậc hai và là một điểm đặc biệt, nó đóng vai trò như điểm O(0; 0) của đồ thị hàm số y = ax². Cụ thể:

⦁ Nếu a > 0 thì $y=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a}\ge -\frac{\Delta }{4a}$với mọi x. Như vậy điểm I là điểm thấp nhất trên đồ thị.

⦁ Nếu a < 0 thì $y=a{\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2-\frac{\Delta }{4a}\le -\frac{\Delta }{4a}$ với mọi x. Như vậy điểm I là điểm cao nhất trên đồ thị.

Gọi (P₀) là parabol y = ax². Nếu ta “dịch chuyển” (P₀) theo vectơ $\overrightarrow{OI}$ thì ta sẽ thu được đồ thị (P) của hàm số y = ax² + bx + c có dạng như hình vẽ bên dưới.

2. Ví dụ minh họa về đỉnh của parabol

Ví dụ 1. Tìm tọa độ đỉnh S của các đồ thị hàm số sau:

a) y = f(x) = –x² + 4x – 3.

b) y = f(x) = x² – 3x + 4.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ∆’ = b’² – ac = 2² – (–1).(–3) = 1.

Khi đó đồ thị hàm số đã cho đỉnh S với hoành độ $x_S=-\frac{b^{\text{'}}}{a}=-\frac{2}{-1}=2,$ tung độ $y_S=-\frac{{\Delta }^{\text{'}}}{a}=-\frac{1}{-1}=1.$

Vậy đồ thị hàm số đã cho có đỉnh S(2; 1).

b) Ta có: ∆ = b² – 4ac = (–3)² – 4.1.4 = –7.

Khi đó đồ thị hàm số đã cho có đỉnh S với hoành độ $x_S=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2.1}=\frac{3}{2},$ tung độ $y_S=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{-7}{4.1}=\frac{7}{4}.$

Ví dụ 2. Quan sát các đồ thị của các hàm số sau (hình vẽ) và cho biết tọa độ đỉnh của mỗi đồ thị hàm số đó.

a) y = f(x) = –2x² – 2x + 4.

b) y = f(x) = x² + 2x + 2.

Hướng dẫn giải

a) Quan sát hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = f(x) = –2x² – 2x + 4 có tọa độ đỉnh là A(0; 4).

b) Quan sát hình vẽ, ta thấy đồ thị hàm số y = f(x) = x² + 2x + 2 có tọa độ đỉnh là S(–1; 1).

3. Bài tập về đỉnh của parabol

Bài 1. Tìm tọa độ đỉnh S của các đồ thị hàm số sau:

a) y = 3x² – 10x + 7.

b) y = x² – 3x + 2.

c) y = –x² + x – 1.

d) y = –2x² + 2x + 3.

e) y = x² + 2x + 1.

Bài 2. Xác định parabol y = ax² + bx + 1 (với a ≠ 0), trong mỗi trường hợp sau:

a) Có đỉnh I(1; 2).

b) Đi qua điểm C(–1; 1) và có tung độ đỉnh bằng –0,25.

Bài 3. Bạn Nam đứng dưới chân cầu vượt ba tầng ở nút giao ngã ba Huế, thuộc thành phố Đà Nẵng để ngắm cầu vượt (hình vẽ). Biết rằng trụ tháp cầu có dạng đường parabol, khoảng cách giữa hai chân trụ tháp khoảng 27 m, chiều cao của trụ tháp tính từ điểm trên mặt đất cách chân trụ tháp 2,26 m là 20 m. Hãy giúp bạn Nam ước lượng độ cao của đỉnh trụ tháp cầu (so với mặt đất).

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 10 sách mới hay, chi tiết khác:

• Thế nào là hai vectơ cùng hướng

• Điều kiện hàm bậc 2 lớn hơn 0

• Độ dài trục ảo hyperbol là gì

• Đồng biến trên từng khoảng xác định là gì

• Khoảng biến thiên như nào thì sự phân tán lớn

• Tính chất vectơ trong tam giác

Để học tốt lớp 10 các môn học sách mới:

• Giải bài tập Lớp 10 Kết nối tri thức
• Giải bài tập Lớp 10 Chân trời sáng tạo
• Giải bài tập Lớp 10 Cánh diều

---