Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ (Lý thuyết Toán lớp 7) - Kết nối tri thức

Với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 3: Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ hay nhất, chi tiết sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Lý thuyết Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

1. Lũy thừa với số mũ tự nhiên

• Lũy thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xⁿ, là tích của n thừa số x (n là số tự nhiên lớn hơn 1)

$x^n=\underset{nthừasố}{\underbrace{x\cdot x\cdot x\cdot \mathrm{...}\cdot x}}$ (x $\in \mathbb{Q}$, n $\in \mathbb{N}$, n >1)

xⁿ đọc là x mũ n hoặc x lũy thừa n hoặc lũy thừa bậc n của x.

x gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

Quy ước: x⁰ = 1 (x ≠ 0); x¹ = x.

Ví dụ:

+ 5³ đọc là 5 mũ 3 hoặc 5 lũy thừa 3 hoặc lũy thừa bậc 3 của 5.

+ Tính ${\left(\frac{-1}{3}\right)}^4$

${\left(\frac{-1}{3}\right)}^4=\frac{-1}{3}\cdot \frac{-1}{3}\cdot \frac{-1}{3}\cdot \frac{-1}{3}=\frac{\left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)\cdot \left(-1\right)}{3\cdot 3\cdot 3\cdot 3}=\frac{1}{81}$

+ Tính và so sánh: $\frac{{12}^2}{6^2}$và ${\left(-\frac{12}{6}\right)}^2$

$\frac{{12}^2}{6^2}=\frac{144}{36}=4$và ${\left(-\frac{12}{6}\right)}^2={\left(-2\right)}^2=4$nên $\frac{{12}^2}{6^2}={\left(-\frac{12}{6}\right)}^2$

Chú ý:

• Lũy thừa của một tích bằng tích các lũy thừa; lũy thừa của một thương bằng thương các lũy thừa.

${\left(x\cdot y\right)}^n=x^n\cdot y^n$; ${\left(\frac{x}{y}\right)}^n=\frac{x^n}{y^n}$ (y ≠ 0).

Ví dụ:

${\left(\frac{3}{4}\right)}^{15}{.4}^{15}={\left(\frac{3}{4}.4\right)}^{15}=3^{15}$;

25³ : 5³ = ${\left(\frac{25}{5}\right)}^3=5^3=125$ .

2. Nhân và chia hai lũy thừa cùng cơ số

• Khi nhân hai lũy thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.

x^m.xⁿ = x^{m + n}

• Khi chia hai lũy thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của lũy thừa bị chia trừ số mũ của lũy thừa chia.

x^m : xⁿ = x^{m - n} (x ≠ 0, m ≥ n)

Ví dụ:

+ Tính ${\left(\frac{2}{3}\right)}^2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5$

${\left(\frac{2}{3}\right)}^2.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5={\left(\frac{2}{3}\right)}^{2+5}={\left(\frac{2}{3}\right)}^7=\frac{128}{2187}$

+ Tính (-9)⁵ : (-9)⁴

(-9)⁵ : (-9)⁴ = (-9)^{5 - 4} = (-9)¹ = -9.

3. Lũy thừa của lũy thừa

• Khi tính lũy thừa của một lũy thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.

${\left(x^m\right)}^n=x^{m\cdot n}$

Ví dụ:

+ Tính [(-3)⁵]⁷

[(-3)⁵]⁷ = (-3)^5.7 = (-3)³⁵.

Mở rộng

• Lũy thừa với số mũ nguyên âm của một số khác 0.

$x^{-n}=\frac{1}{x^n}$với n là số nguyên dương, x ≠ 0.

Ví dụ: $\frac{1}{100}=\frac{1}{{10}^2}={10}^{-2}$

Bài tập Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Bài 1. Tính:

a) ${\left(-2\frac{1}{2}\right)}^3$;

b) ${\left(-2\frac{1}{2}\right)}^4$;

c) ${\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {2022}^0$;

d) $2:{\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)}^3$.

Hướng dẫn giải

a) ${\left(-2\frac{1}{2}\right)}^3$$={\left(-\frac{5}{2}\right)}^3=-\frac{125}{8}$

b) ${\left(-2\frac{1}{2}\right)}^4={\left(-\frac{5}{2}\right)}^4=\frac{625}{16}$

c) ${\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\right)}^2\cdot {2022}^0$$={\left(\frac{5}{4}\right)}^2\cdot 1=\frac{25}{16}$

d) $2:{\left(\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\right)}^3$

$=2:{\left(\frac{3}{6}-\frac{4}{6}\right)}^3=2:{\left(-\frac{1}{6}\right)}^3=2:\frac{-1}{216}=2\cdot \left(-216\right)=-432$.

Bài 2. Tìm x, biết:

a) $x:{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{2}$;

b) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^5\cdot x={\left(\frac{3}{4}\right)}^7$;

c) $\frac{343}{125}={\left(\frac{7}{5}\right)}^x$;

d) ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^x=-\frac{1}{243}$.

Hướng dẫn giải

a) $x:{\left(-\frac{1}{2}\right)}^3=-\frac{1}{2}$

$x=-\frac{1}{2}\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^3$

$x={\left(-\frac{1}{2}\right)}^{3+1}$

$x={\left(-\frac{1}{2}\right)}^4=\frac{1}{16}$.

 Vậy $x=\frac{1}{16}$.

b) ${\left(\frac{3}{4}\right)}^5\cdot x={\left(\frac{3}{4}\right)}^7$

$x={\left(\frac{3}{4}\right)}^7:{\left(\frac{3}{4}\right)}^5$

$x={\left(\frac{3}{4}\right)}^{7-5}$

$x={\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{9}{16}$.

Vậy $x=\frac{9}{16}$.

c) $\frac{343}{125}={\left(\frac{7}{5}\right)}^x$

${\left(\frac{7}{5}\right)}^3={\left(\frac{7}{5}\right)}^x$

$x=3$.

Vậy x = 3.

d) ${\left(-\frac{1}{3}\right)}^x=-\frac{1}{243}$

${\left(-\frac{1}{3}\right)}^x={\left(-\frac{1}{3}\right)}^5$

$x=5$.

Vậy x = 5.

Bài 3. Viết các biểu thức sau dưới dạng lũy thừa của một số hữu tỉ.

a) 25⁴ . 2⁸;

b) 27² : 25³;

c) 15⁸ . 9⁴;

d) (–27)⁵ : 32³.

Hướng dẫn giải

a) 25⁴ . 2⁸$={\left(5^2\right)}^4\cdot 2^8=5^{2\cdot 4}\cdot 2^8=5^8\cdot 2^8={\left(5\cdot 2\right)}^8={10}^8$

b) 27² : 25³ $={\left(3^3\right)}^2:{\left(5^2\right)}^3=3^6:5^6={\left(\frac{3}{5}\right)}^6$

c) 15⁸ . 9⁴$={15}^8\cdot {\left(3^2\right)}^4={15}^8\cdot 3^8={\left(15\cdot 3\right)}^8={45}^8$

d) (–27)⁵ : 32³ = ${\left[{\left(-3\right)}^3\right]}^5:{\left(2^5\right)}^3={\left(-3\right)}^{15}:2^{15}={\left(\frac{-3}{2}\right)}^{15}$.

Bài 4. Tính:

a) $\frac{4^2\cdot 4^3}{2^{10}}$;

b) $\frac{5^4\cdot {20}^4}{{25}^5\cdot 4^5}$;

c) $\frac{2^7\cdot 9^3}{6^5\cdot 8^2}$;

d) $\frac{6^3+3\cdot 6^2+3^3}{-13}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{4^2\cdot 4^3}{2^{10}}=\frac{4^5}{2^{10}}=\frac{{\left(2^2\right)}^5}{2^{10}}=\frac{2^{10}}{2^{10}}=1$

b) $\frac{5^4\cdot {20}^4}{{25}^5\cdot 4^5}=\frac{{\left(5\cdot 20\right)}^4}{{\left(25\cdot 4\right)}^5}=\frac{{100}^4}{{100}^5}=\frac{1}{100}$

c) $\frac{2^7\cdot 9^3}{6^5\cdot 8^2}=\frac{2^7\cdot {\left(3^2\right)}^3}{{\left(2\cdot 3\right)}^5\cdot {\left(2^3\right)}^2}=\frac{2^7\cdot 3^6}{2^5\cdot 3^5\cdot 2^6}=\frac{2^7\cdot 3^6}{2^{11}\cdot 3^5}=\frac{3}{2^4}=\frac{3}{16}$

d) $\frac{6^3+3\cdot 6^2+3^3}{-13}=\frac{3^3\cdot 2^3+3\cdot 3^2\cdot 2^2+3^3}{-13}=\frac{3^3\cdot \left(2^3+2^2+1\right)}{-13}=\frac{27\cdot 13}{-13}$ = -27.

Học tốt Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Các bài học để học tốt Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ Toán lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Bài 3: Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

• Giải sbt Toán 7 Bài 3: Lũy thừa với số mũ tự nhiên của một số hữu tỉ

Xem thêm tóm tắt lý thuyết Toán lớp 7 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

• Lý thuyết Toán 7 Bài 4: Thứ tự thực hiện các phép tính. Quy tắc chuyển vế

• Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 1

• Lý thuyết Toán 7 Bài 5: Làm quen với số thập phân vô hạn tuần hoàn

• Lý thuyết Toán 7 Bài 6: Số vô tỉ. Căn bậc hai số học

• Lý thuyết Toán 7 Bài 7: Tập hợp các số thực

• Tổng hợp lý thuyết Toán 7 Chương 2

Xem thêm các tài liệu học tốt lớp 7 hay khác:

• Giải sgk Toán 7 Kết nối tri thức
• Giải SBT Toán 7 Kết nối tri thức
• Giải lớp 7 Kết nối tri thức (các môn học)
• Giải lớp 7 Chân trời sáng tạo (các môn học)
• Giải lớp 7 Cánh diều (các môn học)

---